YT Digit - шаблон joomla Книги
logo2

ЕГЭ. Задача 16. Планиметрия

Подготовка к единому государственному экзамену по математике. Полезные материалы и видеоразборы задач по планиметрии.

Полезные материалы

Видеоразборы задач

Точка $M$ -- середина гипотенузы $AB$ треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет $BC$ в точке $N$. 
а) Докажите, что $\angle CAN = \angle CMN$. 
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $ANB$ и $CBM$, если $\mathrm{tg} \angle BAC = \dfrac43$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ -- середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ -- высота, $\angle BAC = 60^{\circ}$, $\angle BCA = 45^{\circ}$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC = 2 \sqrt3$.

Квадрат $ABCD$ вписан в окружность. Хорда $CE$ пересекает его диагональ $BD$ в точке $K$.
а) Докажите, что $CK \cdot CE = AB \cdot CD$.
б) Найдите отношение $CK$ и $KE$, если $\angle ECD = 15^{\circ}$.

В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны;
б) Найдите отношение $EH : AC$, если угол $ABC$ равен $30^{\circ}$.

Подборка задач

  1. Точка $M$ -- середина гипотенузы $AB$ треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет $BC$ в точке $N$. 
    а) Докажите, что $\angle CAN = \angle CMN$. 
    б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $ANB$ и $CBM$, если $\mathrm{tg} \angle BAC = \dfrac43$. (ЕГЭ-2017)
  2. В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ -- середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ -- высота, $\angle BAC = 60^{\circ}$, $\angle BCA = 45^{\circ}$.
    а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
    б) Найдите $A_1H$, если $BC = 2 \sqrt3$. (ЕГЭ-2017)
  3. Точка $E$ -- середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. На стороне $AB$ взяли точку $K$, так, что прямые $CK$ и $AE$ параллельны. Отрезки $CK$ и $BE$ пересекаются в точке $O$.
    а) Докажите, что $CO = KO$.
    б) Найти отношение оснований трапеции $BC$ и $AD$, если площадь треугольника $BCK$ составляет $0,009$ площади трапеции $ABCD$. (ЕГЭ-2017)
  4. Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, причем точки $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от прямой $AB$. Продолжения диаметра $CA$ первой окружности и хорды $CB$ этой окружности пересекают вторую окружности в точках $D$ и $E$ соответственно.
    а) Докажите, что треугольники $CBD$ и $O_1AO_2$ подобны.
    б) Найдите $AD$, если $\angle DAE = \angle BAC$, радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и $AB = 3$. (ЕГЭ-2017)
  5. В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$ из вершины прямого угла. В треугольники $ACH$ и $BCH$ вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно, касающиеся прямой $CH$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
    а) Докажите, что прямые $AO_1$ и $CO_2$ перпендикулярны.
    б) Найдите площадь четырехугольника $MO_1NO_2$, если $AC = 20$ и $BC = 15$. (ЕГЭ-2017)
  6. Точки $E$ и $K$ -- соответственно середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Прямая $BE$ пересекается с прямой $CK$ в точке $O$.
    а) Докажите, что вокруг четырехугольника $ABOK$ можно описать окружность.
    б) Найдите $AO$, если сторона квадрата равна 1. (ЕГЭ-2017)
  7. Точка $O$ -- центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$, $I$ -- центр вписанной в него окружности, $H$ -- точка пересечения высот. Известно, что $\angle BAC = \angle OBC + \angle OCB$. 
    а) Докажите, что точка $I$ лежит на окружности, описанной около треугольника $BOC$.
    б) Найдите угол $OIH$, если $\angle ABC = 55^{\circ}$. (ЕГЭ-2016)
  8. В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.
    а) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны;
    б) Найдите отношение $EH : AC$, если угол $ABC$ равен $30^{\circ}$. (ЕГЭ-2016)
  9. В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $60^{\circ}$. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны $AC$ в точке $M$.
    а) Докажите, что отрезок $BM$ не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
    б) Найдите $\sin \angle BMC$ если известно, что отрезок $BM$ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности. (ЕГЭ-2016)
  10. Квадрат $ABCD$ вписан в окружность. Хорда $CE$ пересекает его диагональ $BD$ в точке $K$.
    а) Докажите, что $CK \cdot CE = AB \cdot CD$.
    б) Найдите отношение $CK$ и $KE$, если $\angle ECD = 15^{\circ}$. (ЕГЭ-2016)
  11. В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ -- середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно. Биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $L$.
    а) Докажите, что треугольники $AML$ и $BLC$ подобны.
    б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos \angle BAC = \dfrac{7}{25}$. (ЕГЭ-2016)
  12. Окружность касается стороны $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ и делит каждую из сторон $AB$ и $BC$ на три равные части.
    а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.
    б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону $BC$. (ЕГЭ-2016)
  13. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ точки $M$ и $N$ -- середины катетов $AC$ и $BC$ соответственно, $CH$ -- высота.
    а) Докажите, что прямые $MH$ и $NH$ перпендикулярны.
    б) Пусть $P$ -- точка пересечения прямых $AC$ и $NH$, а $Q$ -- точка пересечения прямых $BC$ и $MH$. Найдите площадь треугольника $PQM$, если $AH = 4$ и $BH = 2$. (ЕГЭ-2016)
  14. На катетах $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке $M$. Точка $Q$ лежит на меньшей дуге $MB$ окружности с диаметром $BC$. Прямая $CQ$ второй раз пересекает окружность с диаметром $AC$ в точке $P$.
    а) Докажите, что прямые $PM$ и $QM$ перпендикулярны.
    б) Найдите $PQ$, если $AM = 1$, $BM = 3$, а $Q$ -- середина дуги $MB$. (ЕГЭ-2016)
  15. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
    а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
    б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.
  16. Хорды $AD$, $BE$ и $CF$ окружности делят друг друга на три равные части.
    а) Докажите, что эти хорды равны.
    б) Найдите площадь шестиугольника $ABCDEF$, если точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен $2\sqrt{21}$.
  17. Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Вписанная в него окружность с центром $O$ касается боковой стороны $BC$ в точке $P$ и пересекает биссектрису угла $B$ в точке $Q$.
    а) Докажите, что отрезки $PQ$ и $OC$ параллельны.
    б) Найдите площадь треугольника $OBC$, если точка $O$ делит высоту $BD$ треугольника в отношении $BO : OD = 3 : 1$ и $AC = 2$.