YT Digit - шаблон joomla Книги
logo2

ЕГЭ. Задание 16. Планиметрия

Подготовка к профильному уровню единого государственного экзамена по математике. Полезные материалы по планиметрии, видеоразборы задач и подборка заданий прошлых лет.

Полезные материалы

Подборки видео

Как прокачать геометрию

Если с планиметрией у вас всё совсем плохо, а нужно ее «затащить», и вы готовы потратить на это значительное время, то есть хорошая книжка -- Гордин. Планиметрия. Работать с ней нужно так. По каждой теме:

  • читаете теорию (обычно, пара абзацев);
  • изучаете разобранные примеры;
  • пробуете решать последние 3-5 задач «второго» уровня;
  • если они получились, то переходите к следующей теме («третий» уровень смотреть необязательно);
  • если они не решаются, то пробуете решить задачи из начала «второго» уровня;
  • если получается, то решаете все задачи «второго» уровня (если их много, то можно идти через одну-две);
  • если почти все получается, то переходите к следующей теме;
  • если многие задачи непонятно как решать, то отрешиваете весь «первый» уровнь (там совсем простые одноходовые задачи, но решение таких задач позволит вам узнать основные идеи решения задач по этой теме).

Важно! Читать решения в конце книжки можно только в двух случаях. Либо вы решили задачу и хотите узнать авторское решение, либо вы долго пытались и у вас совсем нет никаких идей. Долго -- это подумать над задачей минимум полчаса, отложить, вернуться через день-два, подумать еще минимум полчаса. И так 3-4 раза, параллельно отрешивая простые задачи на ту же тему. Если вы будете смотреть решение задачи сразу, не пытаясь ее решать, толку от этого не будет.

Всё про прямоугольный треугольник

Теорема Менелая

Замечательные точки треугольника

Теоремы синусов и косинусов

Формула Герона

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты

Видеоразборы задач

Две окружности касаются внешним образом в точке $K$. Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$, а второй — в точке $B$. Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$, прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C$.
а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.
б) Найдите площадь треугольника $AKB$, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Окружность высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные отрезки.
а) Докажите, биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
б) Пусть окружность пересекает боковую сторону $AB$ в точках $K$ и $L$ так, что $AK = 23$, $KL = 4$ и $LB = 2$. Найдите высоту трапеции.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известны стороны и диагональ: $AB = 3$, $BC = CD = 5$, $AD = 8$, $AC = 7$.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите $BD$.

В треугольнике $ABC$ угол $B$ тупой, $H$ -- точка пересечения высот, угол $AHC$ равен $60^{\circ}$.
а) Докажите, что угол $ABC$ равен $120^{\circ}$.
б) Найдите $BH$, если $AB = 7$, $BC = 8$.

Точка $M$ -- середина гипотенузы $AB$ треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет $BC$ в точке $N$. 
а) Докажите, что $\angle CAN = \angle CMN$. 
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $ANB$ и $CBM$, если $\mathrm{tg} \angle BAC = \dfrac43$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ -- середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ -- высота, $\angle BAC = 60^{\circ}$, $\angle BCA = 45^{\circ}$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC = 2 \sqrt3$.

Квадрат $ABCD$ вписан в окружность. Хорда $CE$ пересекает его диагональ $BD$ в точке $K$.
а) Докажите, что $CK \cdot CE = AB \cdot CD$.
б) Найдите отношение $CK$ и $KE$, если $\angle ECD = 15^{\circ}$.

В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны;
б) Найдите отношение $EH : AC$, если угол $ABC$ равен $30^{\circ}$.

Подборка задач

  1. Точки $M$ и $N$ -- середины соответственно боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$. Окружность проходящая через точки $B$ и $C$ пересекает отрезки $MB$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.
    а) Докажите, что $M$, $P$, $Q$ и $N$ лежат на одной окружности.
    б) Найдите длину отрезка $QN$. Если $BC=4{,}5$, $AD=21{,}5$, $AB=26$, $CD=25$, а угол $CPD$ -- прямой. (ЕГЭ-2019, досрочная волна)
  2. В треугольнике $ABC$ угол $B$ тупой, $H$ -- точка пересечения высот, угол $AHC$ равен $60^{\circ}$.
    а) Докажите, что угол $ABC$ равен $120^{\circ}$.
    б) Найдите $BH$, если $AB = 7$, $BC = 8$. (ЕГЭ-2018, досрочная волна)
  3. Точка $O$ -- центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$, а $BH$ -- высота этого треугольника.
    а) Докажите, что углы $ABH$ и $CBO$ равны.
    б) Найдите $BH$, если $AB = 16$, $BC = 18$, $BH = BO$. (ЕГЭ-2018, основная волна, резервный день)
  4. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известны стороны и диагональ: $AB = 3$, $BC = CD = 5$, $AD = 8$, $AC = 7$.
    а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
    б) Найдите $BD$. (ЕГЭ-2018, досрочная волна, резервный день)
  5. В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ углы $ABD$ и $ACD$ прямые.
    а) Докажите, что $AB = CD$.
    б) Найдите $AD$, если $AB = 2$, $BC = 7$. (ЕГЭ-2018, основная волна)
  6. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса 8. Известно, что
    а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.
    б) Найдите $AD$. (ЕГЭ-2018, основная волна)
  7. Окружность с центром $O_1$ касается оснований $BC$ и $AD$ и боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Окружность с центром $O_2$ касается сторон $BC$, $CD$ и $AD$. Известно, что $AB = 10$, $BC = 9$, $CD = 30$, $AD = 39$.
    а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям трапеции $ABCD$.
    б) Найдите $O_1O_2$. (ЕГЭ-2018, основная волна)
  8. Окружность высекает на всех сторонах трапеции $ABCD$ равные отрезки.
    а) Докажите, биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
    б) Пусть окружность пересекает боковую сторону $AB$ в точках $K$ и $L$ так, что $AK = 23$, $KL = 4$ и $LB = 2$. Найдите высоту трапеции. (ЕГЭ-2018, основная волна)
  9. Точка $E$ -- середина стороны $BC$ квадрата $ABCD$. Серединные перпендикуляры к отрезкам $AE$ и $EC$ пересекаются в точке $O$.
    а) Докажите, что $\angle AOE = 90^{\circ}$.
    б) Найдите $BO : OD$. (ЕГЭ-2018, основная волна, резервный день)
  10. Точка $M$ -- середина гипотенузы $AB$ треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет $BC$ в точке $N$. 
    а) Докажите, что $\angle CAN = \angle CMN$. 
    б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $ANB$ и $CBM$, если $\mathrm{tg} \angle BAC = \dfrac43$. (ЕГЭ-2017)
  11. В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ -- середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ -- высота, $\angle BAC = 60^{\circ}$, $\angle BCA = 45^{\circ}$.
    а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
    б) Найдите $A_1H$, если $BC = 2 \sqrt3$. (ЕГЭ-2017)
  12. Точка $E$ -- середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. На стороне $AB$ взяли точку $K$, так, что прямые $CK$ и $AE$ параллельны. Отрезки $CK$ и $BE$ пересекаются в точке $O$.
    а) Докажите, что $CO = KO$.
    б) Найти отношение оснований трапеции $BC$ и $AD$, если площадь треугольника $BCK$ составляет $0,009$ площади трапеции $ABCD$. (ЕГЭ-2017)
  13. Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, причем точки $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от прямой $AB$. Продолжения диаметра $CA$ первой окружности и хорды $CB$ этой окружности пересекают вторую окружности в точках $D$ и $E$ соответственно.
    а) Докажите, что треугольники $CBD$ и $O_1AO_2$ подобны.
    б) Найдите $AD$, если $\angle DAE = \angle BAC$, радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и $AB = 3$. (ЕГЭ-2017)
  14. В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$ из вершины прямого угла. В треугольники $ACH$ и $BCH$ вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно, касающиеся прямой $CH$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
    а) Докажите, что прямые $AO_1$ и $CO_2$ перпендикулярны.
    б) Найдите площадь четырехугольника $MO_1NO_2$, если $AC = 20$ и $BC = 15$. (ЕГЭ-2017)
  15. Точки $E$ и $K$ -- соответственно середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Прямая $BE$ пересекается с прямой $CK$ в точке $O$.
    а) Докажите, что вокруг четырехугольника $ABOK$ можно описать окружность.
    б) Найдите $AO$, если сторона квадрата равна 1. (ЕГЭ-2017)
  16. Точка $O$ -- центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$, $I$ -- центр вписанной в него окружности, $H$ -- точка пересечения высот. Известно, что $\angle BAC = \angle OBC + \angle OCB$. 
    а) Докажите, что точка $I$ лежит на окружности, описанной около треугольника $BOC$.
    б) Найдите угол $OIH$, если $\angle ABC = 55^{\circ}$. (ЕГЭ-2016)
  17. В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.
    а) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны;
    б) Найдите отношение $EH : AC$, если угол $ABC$ равен $30^{\circ}$. (ЕГЭ-2016)
  18. В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $60^{\circ}$. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны $AC$ в точке $M$.
    а) Докажите, что отрезок $BM$ не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
    б) Найдите $\sin \angle BMC$ если известно, что отрезок $BM$ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности. (ЕГЭ-2016)
  19. Квадрат $ABCD$ вписан в окружность. Хорда $CE$ пересекает его диагональ $BD$ в точке $K$.
    а) Докажите, что $CK \cdot CE = AB \cdot CD$.
    б) Найдите отношение $CK$ и $KE$, если $\angle ECD = 15^{\circ}$. (ЕГЭ-2016)
  20. В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ -- середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно. Биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $L$.
    а) Докажите, что треугольники $AML$ и $BLC$ подобны.
    б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos \angle BAC = \dfrac{7}{25}$. (ЕГЭ-2016)
  21. Окружность касается стороны $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ и делит каждую из сторон $AB$ и $BC$ на три равные части.
    а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.
    б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону $BC$. (ЕГЭ-2016)
  22. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ точки $M$ и $N$ -- середины катетов $AC$ и $BC$ соответственно, $CH$ -- высота.
    а) Докажите, что прямые $MH$ и $NH$ перпендикулярны.
    б) Пусть $P$ -- точка пересечения прямых $AC$ и $NH$, а $Q$ -- точка пересечения прямых $BC$ и $MH$. Найдите площадь треугольника $PQM$, если $AH = 4$ и $BH = 2$. (ЕГЭ-2016)
  23. На катетах $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке $M$. Точка $Q$ лежит на меньшей дуге $MB$ окружности с диаметром $BC$. Прямая $CQ$ второй раз пересекает окружность с диаметром $AC$ в точке $P$.
    а) Докажите, что прямые $PM$ и $QM$ перпендикулярны.
    б) Найдите $PQ$, если $AM = 1$, $BM = 3$, а $Q$ -- середина дуги $MB$. (ЕГЭ-2016)
  24. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
    а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
    б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.
  25. Хорды $AD$, $BE$ и $CF$ окружности делят друг друга на три равные части.
    а) Докажите, что эти хорды равны.
    б) Найдите площадь шестиугольника $ABCDEF$, если точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен $2\sqrt{21}$.
  26. Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Вписанная в него окружность с центром $O$ касается боковой стороны $BC$ в точке $P$ и пересекает биссектрису угла $B$ в точке $Q$.
    а) Докажите, что отрезки $PQ$ и $OC$ параллельны.
    б) Найдите площадь треугольника $OBC$, если точка $O$ делит высоту $BD$ треугольника в отношении $BO : OD = 3 : 1$ и $AC = 2$.