YT Digit - шаблон joomla Книги
logo2

ЕГЭ. Задача 16. Планиметрия

Подготовка к единому государственному экзамену по математике. Полезные материалы и видеоразборы задач по планиметрии.

Полезные материалы

Если с планиметрией у вас всё совсем плохо, а нужно ее «затащить», и вы готовы потратить на это значительное время, то есть хорошая книжка -- Гордин. Планиметрия. Работать с ней нужно так. По каждой теме:

  • читаете теорию (обычно, пара абзацев);
  • изучаете разобранные примеры;
  • пробуете решать последние 3-5 задач «второго» уровня;
  • если они получились, то переходите к следующей теме («третий» уровень смотреть необязательно);
  • если они не решаются, то пробуете решить задачи из начала «второго» уровня;
  • если получается, то решаете все задачи «второго» уровня (если их много, то можно идти через одну-две);
  • если почти все получается, то переходите к следующей теме;
  • если многие задачи непонятно как решать, то отрешиваете весь «первый» уровнь (там совсем простые одноходовые задачи, но решение таких задач позволит вам узнать основные идеи решения задач по этой теме).

Важно! Читать решения в конце книжки можно только в двух случаях. Либо вы решили задачу и хотите узнать авторское решение, либо вы долго пытались и у вас совсем нет никаких идей. Долго -- это подумать над задачей минимум полчаса, отложить, вернуться через день-два, подумать еще минимум полчаса. И так 3-4 раза, параллельно отрешивая простые задачи на ту же тему. Если вы будете смотреть решение задачи сразу, не пытаясь ее решать, толку от этого не будет.

И всегда есть вариант записаться на курсы Терёшина по планиметрии -- «Геометрия, 8 класс» и «Геометрия, 9 класс». 

Видеоразборы задач

Две окружности касаются внешним образом в точке $K$. Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$, а второй — в точке $B$. Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$, прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C$.
а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.
б) Найдите площадь треугольника $AKB$, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Точка $M$ -- середина гипотенузы $AB$ треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет $BC$ в точке $N$. 
а) Докажите, что $\angle CAN = \angle CMN$. 
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $ANB$ и $CBM$, если $\mathrm{tg} \angle BAC = \dfrac43$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ -- середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ -- высота, $\angle BAC = 60^{\circ}$, $\angle BCA = 45^{\circ}$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC = 2 \sqrt3$.

Квадрат $ABCD$ вписан в окружность. Хорда $CE$ пересекает его диагональ $BD$ в точке $K$.
а) Докажите, что $CK \cdot CE = AB \cdot CD$.
б) Найдите отношение $CK$ и $KE$, если $\angle ECD = 15^{\circ}$.

В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны;
б) Найдите отношение $EH : AC$, если угол $ABC$ равен $30^{\circ}$.

Подборка задач

  1. Точка $M$ -- середина гипотенузы $AB$ треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет $BC$ в точке $N$. 
    а) Докажите, что $\angle CAN = \angle CMN$. 
    б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $ANB$ и $CBM$, если $\mathrm{tg} \angle BAC = \dfrac43$. (ЕГЭ-2017)
  2. В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ -- середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ -- высота, $\angle BAC = 60^{\circ}$, $\angle BCA = 45^{\circ}$.
    а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
    б) Найдите $A_1H$, если $BC = 2 \sqrt3$. (ЕГЭ-2017)
  3. Точка $E$ -- середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. На стороне $AB$ взяли точку $K$, так, что прямые $CK$ и $AE$ параллельны. Отрезки $CK$ и $BE$ пересекаются в точке $O$.
    а) Докажите, что $CO = KO$.
    б) Найти отношение оснований трапеции $BC$ и $AD$, если площадь треугольника $BCK$ составляет $0,009$ площади трапеции $ABCD$. (ЕГЭ-2017)
  4. Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, причем точки $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от прямой $AB$. Продолжения диаметра $CA$ первой окружности и хорды $CB$ этой окружности пересекают вторую окружности в точках $D$ и $E$ соответственно.
    а) Докажите, что треугольники $CBD$ и $O_1AO_2$ подобны.
    б) Найдите $AD$, если $\angle DAE = \angle BAC$, радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и $AB = 3$. (ЕГЭ-2017)
  5. В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$ из вершины прямого угла. В треугольники $ACH$ и $BCH$ вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно, касающиеся прямой $CH$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
    а) Докажите, что прямые $AO_1$ и $CO_2$ перпендикулярны.
    б) Найдите площадь четырехугольника $MO_1NO_2$, если $AC = 20$ и $BC = 15$. (ЕГЭ-2017)
  6. Точки $E$ и $K$ -- соответственно середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Прямая $BE$ пересекается с прямой $CK$ в точке $O$.
    а) Докажите, что вокруг четырехугольника $ABOK$ можно описать окружность.
    б) Найдите $AO$, если сторона квадрата равна 1. (ЕГЭ-2017)
  7. Точка $O$ -- центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$, $I$ -- центр вписанной в него окружности, $H$ -- точка пересечения высот. Известно, что $\angle BAC = \angle OBC + \angle OCB$. 
    а) Докажите, что точка $I$ лежит на окружности, описанной около треугольника $BOC$.
    б) Найдите угол $OIH$, если $\angle ABC = 55^{\circ}$. (ЕГЭ-2016)
  8. В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.
    а) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны;
    б) Найдите отношение $EH : AC$, если угол $ABC$ равен $30^{\circ}$. (ЕГЭ-2016)
  9. В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $60^{\circ}$. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны $AC$ в точке $M$.
    а) Докажите, что отрезок $BM$ не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
    б) Найдите $\sin \angle BMC$ если известно, что отрезок $BM$ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности. (ЕГЭ-2016)
  10. Квадрат $ABCD$ вписан в окружность. Хорда $CE$ пересекает его диагональ $BD$ в точке $K$.
    а) Докажите, что $CK \cdot CE = AB \cdot CD$.
    б) Найдите отношение $CK$ и $KE$, если $\angle ECD = 15^{\circ}$. (ЕГЭ-2016)
  11. В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ -- середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно. Биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $L$.
    а) Докажите, что треугольники $AML$ и $BLC$ подобны.
    б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos \angle BAC = \dfrac{7}{25}$. (ЕГЭ-2016)
  12. Окружность касается стороны $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ и делит каждую из сторон $AB$ и $BC$ на три равные части.
    а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.
    б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону $BC$. (ЕГЭ-2016)
  13. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ точки $M$ и $N$ -- середины катетов $AC$ и $BC$ соответственно, $CH$ -- высота.
    а) Докажите, что прямые $MH$ и $NH$ перпендикулярны.
    б) Пусть $P$ -- точка пересечения прямых $AC$ и $NH$, а $Q$ -- точка пересечения прямых $BC$ и $MH$. Найдите площадь треугольника $PQM$, если $AH = 4$ и $BH = 2$. (ЕГЭ-2016)
  14. На катетах $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке $M$. Точка $Q$ лежит на меньшей дуге $MB$ окружности с диаметром $BC$. Прямая $CQ$ второй раз пересекает окружность с диаметром $AC$ в точке $P$.
    а) Докажите, что прямые $PM$ и $QM$ перпендикулярны.
    б) Найдите $PQ$, если $AM = 1$, $BM = 3$, а $Q$ -- середина дуги $MB$. (ЕГЭ-2016)
  15. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
    а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
    б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.
  16. Хорды $AD$, $BE$ и $CF$ окружности делят друг друга на три равные части.
    а) Докажите, что эти хорды равны.
    б) Найдите площадь шестиугольника $ABCDEF$, если точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен $2\sqrt{21}$.
  17. Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Вписанная в него окружность с центром $O$ касается боковой стороны $BC$ в точке $P$ и пересекает биссектрису угла $B$ в точке $Q$.
    а) Докажите, что отрезки $PQ$ и $OC$ параллельны.
    б) Найдите площадь треугольника $OBC$, если точка $O$ делит высоту $BD$ треугольника в отношении $BO : OD = 3 : 1$ и $AC = 2$.