✓ Ограниченные множества. Супремум и инфимум | матан #002

 

Определение. Множество $X\subset\mathbb{R}$ называется ограниченным сверху, если существует число $b$ такое, что $$\forall\,x\in X\ \to\ x\le b.$$ При этом говорят, что число $b$ ограничивает множество $X$ сверху.

 

Определение. Множество $X\subset\mathbb{R}$ называется ограниченным снизу, если существует число $a$ такое, что $$\forall\,x\in X\ \to\ x\ge a.$$ При этом говорят, что число $a$ ограничивает множество $X$ снизу.

 

Определение. Множество $X\subset\mathbb{R}$ называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

 

Определение. Множество $X\subset\mathbb{R}$ называется неограниченным сверху, если оно не является ограниченным сверху.

 

Определение. Множество $X\subset\mathbb{R}$ называется неограниченным снизу, если оно не является ограниченным снизу.

 

Определение. Множество $X\subset\mathbb{R}$ называется неограниченным, если оно не является ограниченным.

 

Определение. Верхней гранью непустого множества $X\subset\mathbb{R}$ называется число $b$, удовлетворяющее условиям:

• $\forall\,x\in X\ \to\ x\le b$;
• $\forall\,b'<b\ \to\ \exists\,x\in X:\ x > b'$ 
  ($\forall\,\varepsilon>0\ \to\ \exists\,x\in X:\ x > b - \varepsilon$).

 

Определение. Нижней гранью непустого множества $X\subset\mathbb{R}$ называется число $a$, удовлетворяющее условиям:

• $\forall\,x\in X\ \to\ x\ge a$;
• $\forall\,a'> a\ \to\ \exists\,x\in X:\ x < a'$ 
  ($\forall\,\varepsilon>0\ \to\ \exists\,x\in X:\ x < a + \varepsilon$).

 

Верхняя и нижняя грани множества $X$ обозначаются символами $\sup X$, $\inf X$ соответственно.

 

Теорема (единственности). Числовое множество не может иметь больше одной верхней грани.

Доказательство. Допуская противное, предположим, что каждое из чисел $b$ и $b'$ ($b\ne b'$) является верхней гранью множества $X$. Пусть, для определённости, $b' < b$. Но тогда $b'$ не является верхней гранью множества $X$.

Получили противоречие.Теорема доказана.

 

Замечание. Заметим, что в условиях теоремы не предполагается существование верхней грани. Теорема утверждает, что если верхняя грань существует, то она единственна. Значительно более глубокой является теорема о существовании верхней грани.

 

Теорема (о существовании верхней грани). Всякое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет верхнюю грань.

Доказательство. Пусть $A$ -- непустое ограниченное сверху множество. Рассмотрим непустое множество $B$, элементами которого являются все числа $b$, ограничивающие множество $A$ сверху. Тогда $$ \forall\,a\in A,\ \forall\,b\in B \ \to \ a\le b. $$ Из аксиомы непрерывности следует, что для некоторого $c\in\mathbb{R}$ $$ \forall\,a\in A,\ \forall\,b\in B \ \to \ a\le c\le b. $$ Покажем, что $\exists\,\sup A = c$.

Первое условие из определения верхней грани выполнено для $c$ в силу того, что $$ \forall\,a\in A\ \to \ a\le c.$$ Покажем, что выполняется и второе.

Пусть $c'<c$. Тогда $c'\not\in B$, так как $$\forall\,b\in B \ \to \ c\le b.$$ Следовательно, $c'$ не ограничивает множество $A$ сверху, то есть $$\exists\,x\in A:\ x > c',$$так что второе условие также выполнено.

Следовательно, $c=\sup A$, и теорема доказана.

 

Определение. Расширенным множеством действительных чисел $\overline{\mathbb{R}}$} называется множество $$ \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R}\cup\{-\infty\}\cup\{+\infty\}. $$ То есть элементами множества $\overline{\mathbb{R}}$ являются все действительные числа и еще два символа: ${-\infty}$, ${+\infty}$.

 

В множестве $\overline{\mathbb{R}}$ не введены сложение и умножение, но имеется отношение порядка. Для двух элементов $a,b\in\overline{\mathbb{R}}$ в случае $a,b\in\mathbb{R}$ отношение порядка то же, что в $\mathbb{R}$. В других же случаях оно определено так: $$\forall\,a\in\mathbb{R}\ \to \ {-\infty}<a,\quad a<{+\infty};\qquad{-\infty}<{+\infty}.$$

 

Рассматривая множество $X\subset\mathbb{R}$ как подмножество расширенного множества действительных чисел ($X\subset\overline{\mathbb{R}}$), можно обобщить понятие $\sup X$. Это обобщающее определение будет отличаться от приведенных выше лишь тем, что в качестве $b$ можно брать не только число, но и элемент ${+\infty}$.

Тогда получим, что для непустого неограниченного сверху числовогомножества $X$ $$\sup X = +\infty.$$ 

Учитывая предыдущую теорему, получаем, что всякое непустое числовое множество имеет в расширенном множестве действительных чисел $\overline{\mathbb{R}}$ верхнюю грань.

 

Замечание. Все изложенные выше утверждения очевидным образом переносятся на понятие нижней грани.