Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства

Решение рациональных и иррациональных уравнений и неравенств из вариантов олимпиады Физтех прошлых лет.

Занятие курса "Математика. Подготовка к олимпиаде Физтех"

Присоединиться к курсу

Подборка задач

1. Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция $f(x)$ принимает соответственно значения 6, 5 и 5. Найдите наименьшее возможное значение $f(x)$. (Физтех-2017)
2. Когда к квадратному трехчлену $f(x)$ прибавили $x^2$, его наименьшее значение увеличилось на 1, а когда из него вычли $x^2$, его наименьшее значение уменьшилось на 3. А как изменится наименьшее значение $f(x)$, если к нему прибавить $2x^2$? (Физтех-2017)
3. Решите систему
   $$
   \begin{cases}
   x + \sqrt{x + 2y} - 2y = \dfrac{7}{2},\\
   x^2 + x + 2y - 4y^2 = \dfrac{27}{2}.
   \end{cases}
   $$
   (Физтех-2016)
4. Найдите все пары положительных чисел $(x, y)$, удовлетворяющих системе уравнений 
   $$
   \begin{cases}
   y - 2\sqrt{xy} - \sqrt{\dfrac{y}{x}} + 2 = 0,\\
   3x^2y^2 + y^4 = 84.
   \end{cases}
   $$
   (Физтех-2016)
5. Решите систему уравнений 
   $$
   \begin{cases}
   x^2y + xy^2 - 2x - 2y + 10 = 0,\\
   x^3y - xy^3 - 2x^2 + 2y^2 - 30 = 0.
   \end{cases}
   $$
   (Физтех-2016)
6. Решите систему уравнений
   $$
   \begin{cases}
   \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y+z} = - \dfrac{2}{15}, \\
   \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{x+z} = - \dfrac{2}{3}, \\
   \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x+y} = - \dfrac{1}{4}.
   \end{cases}
   $$
   (Физтех-2015)
7. Решите систему
   $$
   \begin{cases}
   x^2 + y^2 \leqslant 2, \\
   81x^4 - 18 x^2y^2 + y^4 - 360x^2 - 40y^2 + 400 = 0.
   \end{cases}
   $$
   (Физтех-2015)
8. Решите систему
   $$
   \begin{cases}
   3x \geqslant 2y + 16, \\
   x^4 + 2x^2y^2 + y^4 + 25 - 26x^2 - 26y^2 = 72xy.
   \end{cases}
   $$
   (Физтех-2015)
9. Решите систему уравнений
   $$
   \begin{cases}
   x^2 - 4xy + 4y^2 = 2x - 4y + 3, \\
   \sqrt{3x - 6y} = 2 - xy.
   \end{cases}
   $$
   (Физтех-2014)
10. Решите систему уравнений
    $$
    \begin{cases}
    2x^3 + 3xy + 3y^2 = 16, \\
    x^3 - x^2 + xy + 2y^2 = 8.
    \end{cases}
    $$
    (Физтех-2014)
11. Решите неравенство
    $$\dfrac{1}{\sqrt{|x+1| - 2}} \leqslant \dfrac{1}{9+x}.$$ (Физтех-2013)
12. Решите неравенство
    $$
    \left(\dfrac{6|x-2|}{x^2 + 21}\right)^{x + \sqrt{x^2 - 6}} > 1.
    $$
    (Физтех-2013)
13. Решите неравенство
    $$
    \dfrac{x\sqrt2 + 1}{1 - \sqrt{x^2 - 4x + 5}} \leqslant 1.
    $$
    (Физтех-2012)
14. Решите систему уравнений
    $$
    \begin{cases}
    \dfrac{5x}{y} - \dfrac{9y}{x} + 10 = \dfrac{6}{xy}, \\
    \dfrac{2x}{y} + \dfrac{3y}{x} + 4  = \dfrac{9}{xy}.
    \end{cases}
    $$
    (Физтех-2012)
15. Решите систему уравнений
    $$
    \begin{cases}
    \sqrt{x^2 - 2y} = 3y - x,\\
    \dfrac{81}{4} y^2 + x^3 = 2x + 1.
    \end{cases}
    $$
    (Физтех-2011)
16. Решите систему уравнений
    $$
    \begin{cases}
    \sqrt{y^2 - \dfrac{2x}{y}} = y - x,\\
    x^2 + \dfrac{2}{y^2} = y^2 + 1.
    \end{cases}
    $$
    (Физтех-2011)
17. Решите неравенство
    $$
    \dfrac{10 - 2|x|}{|x^2 + 9x + 11| - 3} \leqslant 1.
    $$
    (Физтех-2011)
18. Решите неравенство
    $$
    \sqrt{\dfrac{18 - x}{2 + x}} > -x.
    $$
    (Физтех-2010)
19. Решите систему уравнений
    $$
    \begin{cases}
    \sqrt{25 - x^2} - \sqrt{25 - y^2} = 1,\\
    \sqrt{25 - x^2} + \sqrt{25 - y^2} = y^2 - 2x^2 + 2x + 3.
    \end{cases}
    $$
    (Физтех-2010)
20. Решите неравенство
    $$
    \left| 2^{\sqrt{x - 1} - 1} - 1 \right| + \dfrac{5}{3} \leqslant \dfrac{2^{\sqrt{x - 1} + 3}}{3} - 4^{\sqrt{x - 1} - \frac12}.
    $$
    (Физтех-2009)