Гомотетия
Теория и подборка задач на применение гомотетии.
Полезные материалы
Основные сведения
Гомотетией называют преобразование плоскости, переводящее точку $A$ в точку $A'$, обладающую тем свойством, что $\overrightarrow{OA'} = k \cdot \overrightarrow{OA}$ (точка $O$ и число $k \ne 0$ фиксированы). Точку $O$ называют центром гомотетии, а число $k$ -- коэффициентом гомотетии.
Две фигуры называют гомотетичными, если одна из них переходит в другую при некоторой гомотетии.
Композиция двух гомотетий с коэффициентами $k_1$ и $k_2$, где $k_1k_2 \ne 1$, является гомотетией с коэффициентом $k_1k_2$, причем ее центр лежит на прямой, соединяющей центры этих гомотетий
Подборка задач
- Докажите, что при гомотетии окружность переходит в окружность.
- Две окружности касаются в точке $K$. Прямая, проходящая через точку $K$, пересекает эти окружности в точках $A$ и $B$. Докажите, что касательные к окружностям, проведенные через точки $A$ и $B$, параллельны.
- Две окружности касаются в точке $K$. Через точку $K$ проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках $A$ и $B$, вторую -- в точках $C$ и $D$. Докажите, что $AB\|CD$.
- Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.
- Четырехугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что их точки пересечения медиан образуют параллелограмм.
- Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$, а ее диагонали -- в точке $L$. Докажите, что точки $K$, $L$, $M$ и $N$, где $M$ и $N$ -- середины оснований $BC$ и $AD$, лежат на одной прямой.
- В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны. Докажите, что трапеция равнобокая.
- Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все его стороны отодвинуть на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному. Докажите, что этот многоугольник описанный.
- Пусть $R$ и $r$ -- радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что $R \geqslant 2r$, причем равенство достигается лишь для правильного треугольника.
- Докажите, что любой выпуклый многоугольник $F$ содержит два многоугольника $F_1$ и $F_2$, подобных $F$ с коэффициентом $1/2$, не имеющих общих внутренних точек. Покажите, что для невыпуклых многоугольников этот факт может быть неверен.
- Дан треугольник $ABC$. Построены четыре окружности равного радиуса $x$ так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите $x$, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны $r$ и $R$ соответственно.
- В каждый угол треугольника $ABC$ вписана окружность, касающаяся описанной окружности. Пусть $A_1$, $B_1$ и $C_1$ -- точки касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.
- Даны угол $ABC$ и точка $M$ внутри его. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку $M$.
- Впишите в треугольник две равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и другой окружности.
