Инвариант
Теория и подборка задач про инвариант.
Полезные материалы
Подборка задач
- На доске написаны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается к любым двум из них одновременно добавлять по единице. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными?
- 100 фишек выставлены в ряд. Разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну. Можно ли с помощью таких операций переставить все фишки в обратном порядке?
- Вера, Надя и Люба решали задачи. Чтобы дело шло быстрее, они купили конфет и условились, что за каждую решенную задачу девочка, решившая ее первой, получает четыре конфеты, решившая второй -- две, а решившая последней -- одну. Девочки говорят, что каждая из них решила все задачи и получила 20 конфет, причем одновременных решений не было. Может ли такое быть?
- В алфавите языка племени АББА всего две буквы: А и Б, причем этот язык обладает такими свойствами: если из слова выкинуть стоящие рядом буквы БА, то смысл слова не изменится. Точно так же смысл слова не изменится при добавлении в любое место слова буквосочетания АБ или ААББ. Можно ли утверждать, что слова АББ и БАА имеют одинаковый смысл?
- На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 2017. Разрешается стереть любые два числа и написать вместо них разность этих чисел. Можно ли добиться того, чтобы все числа на доске были нулями?
- На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 19, 20. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$ и вместо них написать число $a + b - 1$. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?
- На шести елках сидят шесть чижей, на каждой елке – по чижу. Елки растут в ряд с интервалами в 10 метров. Если какой-то чиж перелетает с одной елки на другую, то какой-то другой чиж обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении. Могут ли все чижи собраться на одной елке? А если чижей и елок – семь?
- Круг разделен на 6 секторов, в каждом из которых стоит фишка. Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ними сектора. Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?
- Хулиган Вася порвал стенгазету, причем каждый кусок он разрывал либо на 4, либо на 10 частей. Могло ли в конце получиться 2006 кусков?}
- На доске написано число 12. В течение каждой минуты число либо умножают, либо делят на 2 или на 3, и результат записывают на доску вместо исходного числа. Докажите, что число, которое будет написано на доске ровно через час, не может быть равно 54.
- Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали. Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна черная клетка?
- В таблице $3 \times 3$ одна из угловых клеток закрашена черным цветом, все остальные -- белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.
- На доске написано число $8^{2017}$. У него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число?
- На прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу). Докажите, что через 2017 секунд они не могут вернуться в исходное положение.
- У племени семпоальтеков было 24 слитка золота, 26 редких жемчужин и 25 стеклянных бус. У Кортеса они могут обменять слиток золота и жемчужину на одни бусы, у Монтесумы -- один слиток и одни бусы на одну жемчужину, а у тотонаков -- одну жемчужину и одни бусы на один золотой слиток. После долгих обменов у семпоальтеков осталось только одна вещь. Какая это могла быть вещь?
- На доске написаны два числа. Каждый день Боря стирает с доски оба числа и пишет вместо них их среднее арифметическое и среднее гармоническое. Утром первого дня на доске были написаны числа 1 и 2. Найдите произведение чисел, записанных на доске вечером 2017-го дня. (Средним арифметическим двух чисел $a$ и $b$ называется число $\dfrac{(a+b)}{2}$, а средним гармоническим -- число $\dfrac{2}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}$).
- На доске выписаны числа 1, 2, …, 20. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$ и заменить их на число $ab + a + b$. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?
- В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа $+ 1$ и $-1$ так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят $+1$. Разрешается изменять знак в любых $k$ подряд идущих вершинах. При каких $k$ можно такими операциями добиться того, чтобы единственное число $-1$ сдвинулось в соседнюю с исходной вершину?
- На острове Серобуромалин живет 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона разного цвета, они одновременно перекрашиваются в третий цвет. Может ли через некоторое время оказаться, что все хамелеоны имеют один цвет?
- На доске написаны многочлены $P(x) = x^2 + 2$ и $Q(x) = x + 1$. Разрешается записать на доску сумму, разность или произведение любых двух из уже выписанных на доску многочленов. Может ли на доске появиться многочлен $R(x) = x^3 + 2$?
