Олимпиада Фоксфорда. Математика. IV сезон. 11 класс

Условия, ответы и решения IV сезона олимпиады Фоксфорда по математике для 11 класса. Олимпиада проходила в сентябре 2016 года.

1. Тригонометрические забавы с корнями. Корни квадратного трехчлена $x^2+px+q$ равны $\sin A^\circ$ и $\sin B^\circ$. Чему равно $\arccos\sqrt{p^2(p^2-4q)}$? Ответ дайте в градусах.
   Ответ

   $2\min(A,B)$
2. Шесть пирамид в кубе. Куб поделен на шесть четырехугольных пирамид следующим способом: внутри куба выбрана точка, которая соединена со всеми восемью вершинами куба. Объемы пяти из этих пирамид -- это числа 2, 5, 10, 11 и 14. Чему равен объем шестой пирамиды?
   
   Ответ

   6
3. Сумма квадратов -- степень. Сколько существует натуральных $n$, меньших 1013, таких что уравнение $a^2+b^2=7^n$ имеет решение в целых числах?
   
   Ответ

   506
4. Высота, сторона и угол. В треугольнике $ABC$ высота $CH=a$, сторона $AB=2a$, а угол $\angle BAC = 75^\circ$. Найдите угол $B$ (в градусах).
   
   Ответ

   30
5. Справедливое дежурство. Мистер Фокс каждый вечер из 34 преподавателей назначает на дежурство 12 или 13 по своему усмотрению. Через какое наименьшее число дней может оказаться, что каждый из преподавателей выходил на дежурство одинаковое число раз?
   Ответ

   8
6. Суммы трёх. Известно, что $a+b+c=m$, а $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=n$. Найдите сумму $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$.
   
   Ответ

   $mn-3$
7. Скукоженный четырехугольник. Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. На его диагоналях $AC$ и $BD$ выбрали точки $E$ и $F$ соответственно. Оказалось, что $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{DF}{FB}= x$, причем точка пересечения диагоналей четырехугольника $ABCD$ лежит внутри отрезков $EC$ и $FB$. Известно, что площадь четырехугольника $ABCD$ равна $y$. Найдите площадь четырехугольника $EBCF$.
   
   Ответ

   $\dfrac{y}{(1+x)^2}$
8. Многократно больше среднего. Даны положительные числа $a_1<a_2<\ldots<a_{2016}$. Оказалось, что $a_k$ в 24 раза больше среднего арифметического всех чисел. Какое наименьшее значение может принимать $k$?
   
   Ответ

   1934
9. Оказалось, что там прямоугольник. Дан треугольник $ABC$. Пусть $H$ -- точка пересечения его высот, $O$ -- центр описанной окружности, $M$ -- середина стороны $BC$, $D$ -- основание высоты, опущенной из вершины $A$. Оказалось, что четырехугольник $HOMD$ является прямоугольником, причем $HO=x$, $HD=y$. Найдите $BC$.
   
   Ответ

   $2\sqrt{x^2+3y^2}$
10. Шатание по прямой. На прямой умный мистер Фокс стоит в точке с координатой 1 и делает 11 шагов, каждый влево или вправо на 1. Сколько существует траекторий, при которых он попадет в точку с координатой 2, ни разу не побывав в 0?
    Ответ

    132

Записаться на следующий сезон