#ТруВариантЕГЭ #002 от 14 ноября 2018 года
Вариант содержит задачи реальных вариантов профильных ЕГЭ по математике прошлых лет. Первые 12 задач можно прорешать и узнать свои результаты, остальные задачи можно обсудить в комментариях.
13. а) Решите уравнение $\left(\dfrac{1}{49}\right)^{\sin x} = 7^{2\sin 2x}$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$.
14. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона $AB$ основания равна $2\sqrt3$, а высота $SH$ пирамиды равна 3. Точки $M$ и $N$ -- середины ребер $CD$ и $AB$, соответственно, а $NT$ -- высота пирамиды $NSCD$ с вершиной $N$ и основанием $SCD$.
а) Докажите, что точка $T$ является серединой $SM$.
б) Найдите расстояние между $NT$ и $SC$.
15. Решите неравенство: $$(9^x - 2\cdot 3^x)^2 - 62 \cdot (9^x - 2\cdot 3^x) - 63 \geqslant 0.$$
16. Две окружности касаются внешним образом в точке $K$. Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$, а второй — в точке $B$. Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$, прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C$.
а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.
б) Найдите площадь треугольника $AKB$, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
17. Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 300 рублей. Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
18. Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} (|x| - 5)^2 + (y - 4)^2 = 9,\\ (x + 2)^2 + y^2 = a^2 \end{cases} $$ имеет единственное решение.
19. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.
