#ТруВариантЕГЭ #001 от 15 сентября 2017 года
Вариант содержит задачи реальных вариантов профильных ЕГЭ по математике прошлых лет. Первые 12 задач можно прорешать и узнать свои результаты, остальные задачи можно обсудить в комментариях.
13. а) Решите уравнение $8^x - 9 \cdot 2^{x + 1} + 2^{5 - x} = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_5 2; \log_5 {20}]$.
14. Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
a) Докажите, что грань $ABCD$ -- квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1 = 6$, $AB = 4$.
15. Решите неравенство: $$\log_2^2(25 - x^2) - 7\log_2(25 - x^2) + 12 \geqslant 0.$$
16. В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ -- середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ -- высота, $\angle BAC = 60^{\circ}$, $\angle BCA = 45^{\circ}$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC = 2 \sqrt3$.
17. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере $S$ тыс рублей. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным $S$ тыс. рублей;
− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей;
− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
18. Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} x(x^2 + y^2 - y - 2) = |x| (y - 2),\\ y = x + a \end{cases} $$ имеет ровно три различных решения.
19. Последовательность $a_1, a_2, \ldots, a_n$ $(n \geqslant 3)$ состоит из натуральных чисел, причем каждый член последовательности больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов. а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50. б) Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа? в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при $n = 10$?
