✓ ЕГЭ-2019. Досрочная волна. 29.03.2019
Разбор реального варианта ЕГЭ (досрок) по профильной математике 2019 года, который прошел 29 марта.
13. а) Решите уравнение $2\log_2^2 (2\sin x) - 5\log_2(2\sin x) + 2 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{2}; 2\pi\right]$?
14. В треугольной пирамиде $SABC$ $SB=SC=AC=AB=\sqrt{17}$, $SA= BC = 2\sqrt5$.
а) Докажите, что прямые $BC$ и $SA$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $BC$ и $SA$.
15. Решите неравенство $\dfrac{9^x + 2\cdot 3^x - 117}{3^x - 27} \leqslant 1$.
16. Точки $M$ и $N$ -- середины соответственно боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$. Окружность проходящая через точки $B$ и $C$ пересекает отрезки $MB$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.
а) Докажите, что $M$, $P$, $Q$ и $N$ лежат на одной окружности.
б) Найдите длину отрезка $QN$. Если $BC=4{,}5$, $AD=21{,}5$, $AB=26$, $CD=25$, а угол $CPD$ -- прямой.
17. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере $S$ млн. рублей, где $S$ -- натуральное число. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| месяц и год | 07.20 | 07.21 | 07.22 | 07.23 | 07.24 |
| долг (в млн. руб.) | $S$ | $0{,}8S$ | $0{,}5S$ | $0{,}1S$ | 0 |
Найдите наибольшее значение $S$, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 миллионов рублей.
18. Найдите все значения $a$, при которых наименьшее значение функции $f(x) = ax - a - 1 + |x^2 - 4x +3|$ меньше, чем $-2$.
19. Вася и Петя решают задачи из сборника. Они начали решать задачи в один день и тот же день, и решили в этот день хотя бы по одной задаче каждый. Вася решал в каждый следующий день на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя -- на две задачи больше, чем предыдущий день. В итоге каждый из них решил все задачи из сборника.
а) Могло ли быть так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за пять дней?
б) Могло ли быть так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за три дня?
в) Найдите наименьшее количество задач в сборнике, если известно, что каждому из них потребовалось больше 7 дней на решение всех задач, а количество задач, решенных в первый день отличалось на 1.
