ЕГЭ-2018. Досрочная волна. 30.03.2018
Разбор реального варианта ЕГЭ по профильной математике 2018 года, который прошел 30 марта.
13. а) Решите уравнение $\dfrac{\sin x}{\sin^2\dfrac{x}{2}} = 4\cos^2\dfrac{x}{2}$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{9\pi}{2}; -3\pi \right]$.
14. Дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $AA_1$ отмечена точка $K$ так, что $AK : KA_1 = 1 : 2$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B$ и $K$ параллельно прямой $AC$. Эта плоскость пересекает ребро $DD_1$ в точке $M$.
а) Докажите, что $DM : MD_1 = 2 : 1$.
б) Найдите площадь сечения, если $AB = 4$, $AA_1 = 6$.
15. Решите неравенство $$\dfrac{6^x - 4\cdot 3^x}{x\cdot 2^x - 5\cdot 2^x - 4x + 20} \leqslant \dfrac{1}{x - 5}.$$
16. В треугольнике $ABC$ угол $B$ тупой, $H$ -- точка пересечения высот, угол $AHC$ равен $60^{\circ}$.
а) Докажите, что угол $ABC$ равен $120^{\circ}$.
б) Найдите $BH$, если $AB = 7$, $BC = 8$.
17. В июле 2018 года планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей необходимо взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами, и банку будет выплачено 311 040 рублей?
18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$\begin{cases} \left( (x + 5)^2 + y^2 - a^2 \right) \ln (9 - x^2 - y^2) = 0, \\ \left( (x + 5)^2 + y^2 - a^2 \right) (x + y - a + 5) = 0 \end{cases}$$ имеет ровно два различных решения.
19. На доске написаны числа $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$, каждое из которых не меньше 50 и не больше 150. Каждое из чисел $a_i$ уменьшили на $r_i\%$ так, что либо $r_i = 2$, либо число $a_i$ уменьшилось на 2.
а) Может ли среднее арифметическое чисел $r_i$ быть равным 5?
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел $r_i$ больше 2, и при этом сумма чисел $a_i$ уменьшилась более чем на $2n$?
в) Пусть $n=30$, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел $r_i$.
