ЕГЭ-2015. Досрочная волна. 28.03.2015
13. а) Решите уравнение $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi; \dfrac{7\pi}{2} \right]$.
14. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все ребра равны 5. На его ребре $BB_1$ отмечена точка $K$ так, что $KB=3$. Через точки $K$ и $C_1$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $BD_1$.
а) Докажите, что $A_1P:PB_1=1:2$, где $P$ -- точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $A_1B_1$.
б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью $\alpha$.
15. Решите неравенство $$\log_2^2(4+3x-x^2) + 7\log_{0,5}(4+3x-x^2) + 10 > 0.$$
16. К окружности, вписанной в квадрат $ABCD$, проведена касательная, пересекающая стороны $AB$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника $AMN$ равен стороне квадрата.
б) Прямая $MN$ пересекает прямую CD в точке $P$. В каком отношении делит сторону $BC$ прямая, проходящая через точку $P$ и центр окружности, если $AM:MB=1:2$?
17. Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $2t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $5t$ единиц товара.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?
18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} \dfrac{(y^2-xy-4y+2x+4)\sqrt{x+4}}{\sqrt{5-y}}=0,\\ a = x + y \end{cases} $$ имеет единственное решение.
19. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
