Принцип вложенных отрезков | Матан #003

Система вложенных отрезков

Определение. Множество отрезков $$ \{[a_n,b_n]\}_{n=1}^\infty = \{[a_1,b_1],\; [a_2,b_2],\; \dots\}, $$ $$ \forall\,n\in\mathbb{N} \ \to \ -\infty<a_n<b_n<+\infty $$ называется системой вложенных отрезков, если $$ \forall\,n\in\mathbb{N} \ \to \ [a_n,b_n]\supset[a_{n+1},b_{n+1}],$$ то есть каждый отрезок содержит следующий за ним.

Теорема (Непрерывность множества действительных чисел по Кантору). Для всякой системы вложенных отрезков существует точка, принадлежащая всем отрезкам данной системы.

Доказательство. Для системы вложенных отрезков $\{[a_n,b_n]\}_{n=1}^\infty$ рассмотрим два непустых множества $$ A=\{a_n\}_{n=1}^\infty=\{a_1,a_2, \dots\}, \qquad B=\{b_n\}_{n=1}^\infty=\{b_1,b_2, \dots\}. $$ Так как $$ \forall\,n,m\in\mathbb{N} \ \to \ [a_{n+m}; b_{n+m}] \subset [a_n; b_n] \ \Rightarrow \ a_n\le a_{n+m}; $$ $$ \forall\,n,m\in\mathbb{N} \ \to \ [a_{n+m}; b_{n+m}] \subset [a_m; b_m] \ \Rightarrow \ b_{n+m}\le b_m. $$

Следовательно, $$ \forall\,n,m\in\mathbb{N} \ \to \ a_n\le a_{n+m} < b_{n+m}\le b_m. $$

То есть $$\forall\,a\in A,\ b\in B \ \to \ a\le b.$$

В силу аксиомы непрерывности существует число $c$ такое, что $$ \forall\,a\in A,\ b\in B \ \to \ a\le c\le b. $$

В частности, $$ \forall\,n\in\mathbb{N} \ \to \ c\in[a_n,b_n], $$ что и требовалось доказать.

Определение. Система вложенных отрезков $\{[a_n,b_n]\}_{n=1}^\infty$ называется стягивающейся системой вложенных отрезков, если $$ \forall\,\varepsilon > 0 \ \to \ \exists\,n\in\mathbb{N}: b_n - a_n < \varepsilon. $$

Теорема. Стягивающаяся система вложенных отрезков имеет ровно одну точку, принадлежащую всем отрезкам.

Доказательство. По крайней мере, одна общая точка для отрезков рассматриваемой системы имеется в силу предыдущей теоремы. Покажем, что общих точек не больше одной.

Допуская противное, предположим, что каждая из двух различных точек $c$ и $c'$ является общей для всех отрезков системы. Пусть, для определенности, $c'<c$, то есть $\varepsilon = c-c'>0$. По определению стягивающейся системы, $$\exists\,n\in\mathbb{N}:\ b_n - a_n<\varepsilon.$$ Тогда $a_n\le c' < c \le b_n$.

Отсюда $$ a_n\le c' \ \Rightarrow \ -c'\le -a_n \ \Rightarrow \ c - c'\le c - a_n; $$ $$ c \le b_n \ \Rightarrow \ c - a_n\le b_n - a_n. $$

Поэтому $\varepsilon = c - c'\le c - a_n\le b_n - a_n < \varepsilon$.

Получили противоречие. Теорема доказана.