Множество действительных чисел | матан #001

Опреденение. Непустое множество $\mathbb{R}$ называется множеством действительных (вещественных) чисел, а его элементы -- действительными (вещественными) числами, если на $\mathbb{R}$ определены операции сложения и умножения и отношение порядка, удовлетворяющие следующим аксиомам.

$1^{\circ}$. Аксиомы сложения ($a,b\to a+b$)

1.   $\forall\,a,b\in\mathbb{R}\ \to\ a+b=b+a$ (коммутативность сложения);
2.   $\forall\,a,b,c\in\mathbb{R}\ \to\ a+(b+c)=(a+b)+c$ (ассоциативность сложения);
3.   $\exists\,0\in\mathbb{R}:\ \forall\,a\in\mathbb{R}\ \to\ a+0=a$;
4.   $\forall\,a\in\mathbb{R}\ \to\ \exists\,(-a)\in\mathbb{R}$: $a+(-a)=0$ (число $({-}a)$ называется противоположным числом для $a$.

$2^{\circ}$. Аксиомы умножения ($a,b\to ab$)

1.   $\forall\,a,b\in\mathbb{R}\ \to\ ab=ba$ (коммутативность умножения);
2.   $\forall\,a,b,c\in\mathbb{R}\ \to\ a(bc)=(ab)c$ (ассоциативность умножения);
3.   $\exists\,1\in\mathbb{R},\ 1\ne0:\ \forall\,a\in\mathbb{R}\ \to\ 1\cdot a=a$;
4.   $\forall\,a\in\mathbb{R},\ a\ne0\ \to\ \exists\,\dfrac 1a\in\mathbb{R}:\ a \cdot \dfrac 1a=1$ (число $\dfrac 1a$ называется обратным числом для $a$);
5.   $\forall\,a,b,c\in\mathbb{R}\ \to\ (a+b)c=ac+bc$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

$3^{\circ}$. Аксиомы порядка (для любых $a,b\in\mathbb{R}$ установлено отношение $a\le b$ или $b\le a$)

1.   $\forall\,a,b\in\mathbb{R}:\ a\le b,\ b\le a \ \to\ a=b$;
2.   $\forall\,a,b,c\in\mathbb{R}:\ a\le b,\ b\le c\ \to\ a\le c$;
3.   $\forall\,a,b,c\in\mathbb{R}:\ a\le b\ \to\ a+c\le b+c$;
4.   $\forall\,a,b\in\mathbb{R}:\ 0\le a,\ 0\le b\ \to\ 0\le ab$.

• $a\le b$ можно записывать также в виде $b\ge a$;
• $a\le b$ при $a\ne b$ можно записывать в виде в виде $a < b$ или $b > a$.

$4^{\circ}$. Аксиома непрерывности (принцип Дедекинда)

Пусть $A$, $B$ -- непустые подмножества $\mathbb{R}$ такие, что
$$
\forall\,a\in A,\,b\in B\ \to\ a\le b.
$$
Тогда существует $c\in\mathbb{R}$ такое, что
$$
\forall\,a\in A,\,b\in B\ \to\ a\le c\le b.
$$

Некоторые следствия из аксиом множества действительных чисел

1. Число 0 единственно.
2. Для любого $a$ число $(- a)$, противоположное к $a$ единственно.
3. Для любых $a,b \in \mathbb{R}$ существует единственное $x$ такое, что $a+x=b$ (при этом $x = b+(- a)$; это число называется разностью между $b$ и $a$ и обозначается $b - a$).
4. Число 1 единственно.
5. Для любого $a \ne 0$ число $\dfrac 1a$, обратное к $a$ единственно.
6. Для любых $a \ne 0$ и $b$ существует единственное $x$ такое, что $ax=b$ (при этом $x = b\cdot\dfrac 1a$; это число называется частным при делении $b$ на $a$ и обозначается $\dfrac{b}{a}$).
7. Для любого $a$ справедливо равенство $a\cdot 0=0$.
8. Пусть $a$ и $b$ такие, что $ab=0$, тогда $a=0$ или $b=0$.
9. Для любых $a$ и $b$ всегда имеет место одно и только одно из соотношений $a<b$, $a=b$, $a>b$.
10. $1 > 0$.
11. Пусть $a \le b$, тогда $-b \le -a$.

Упражнение. Докажите эти следствия из аксиом множества действительных чисел.

Примеры числовых множеств

1. Множество натуральных чисел $\mathbb N=\{1, 2, 3, \ldots\}$, где $2=1+1$, $3=2+1$, $4=3+1$, $5 = 4+1$, ...
2. Множество $\mathbb N_0 = \mathbb N\cup\{0\}$.
3. Множество целых чисел $\mathbb Z=\{0,1,{-1}, 2, {-2}, 3,{-3}, \ldots\}$.
4. Множество рациональных чисел $\mathbb Q = \left\{x:\ x=\dfrac mn,\ m\in\mathbb Z,\ n\in\mathbb N\right\}$.
5. Множество иррациональных чисел $\mathbb{R}\setminus\mathbb Q$.

Упражнение. Для каждого из множеств $\mathbb N$, $\mathbb N_0$, $\mathbb Z$ и $\mathbb Q$ укажите какие из
аксиом действительных чисел не выполняются.

Упражнение*. Укажите какие из аксиом действительных чисел не выполняются для
множества комплексных чисел $\mathbb C$.