Площадь

 Теория и подборка задач про площадь.

Полезные материалы

• Площадь (Фоксфорд.Учебник)
• Площадь прямоугольника (Фоксфорд.Учебник)
• Площадь треугольника (Фоксфорд.Учебник)
• Площадь трапеции (Фоксфорд.Учебник)
• Отношение площадей (Фоксфорд.Учебник)
• Метод вспомогательной площади (Фоксфорд.Учебник)
• Формула Пика (Фоксфорд.Учебник)

Подборка задач

1. Дан треугольник $ABC$. Найдите все точки $M$ такие, что $S_{ABM}=S_{CBM}$.
2. Пусть диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $S_{ABO}= S_{CDO}$.
3. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна $\dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\varphi$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\varphi$ — угол между ними.
4. Многоугольник описан около окружности радиуса $r$. Докажите, что его площадь равна $pr$, где $p$ — полупериметр многоугольника.
5. Точка $X$ расположена внутри параллелограмма $ABCD$. Докажите, что $S_{ABX} + S_{CDX} = S_{BCX} + S_{ADX}$.
6. Докажите, что площади параллелограммов $ABCD$ и $AFGH$ равны. (см. рисунок)
7. Пусть $AA'$ и $BB'$ — биссектрисы треугольника $ABC$. Докажите, что для любой точки $X$ с отрезка $A'B'$ справедливо $a+b=c$, где $a$, $b$, $c$ — расстояния от точки $X$ до соответствующих сторон треугольника.