YT Digit - шаблон joomla Книги
logo2

Гомотетия

Теория и подборка задач на применение гомотетии.

Полезные материалы

Основные сведения

Гомотетией называют преобразование плоскости, переводящее точку $A$ в точку $A'$, обладающую тем свойством, что $\overrightarrow{OA'} = k \cdot \overrightarrow{OA}$ (точка $O$ и число $k \ne 0$ фиксированы). Точку $O$ называют центром гомотетии, а число $k$ -- коэффициентом гомотетии.

Две фигуры называют гомотетичными, если одна из них переходит в другую при некоторой гомотетии.

Композиция двух гомотетий с коэффициентами $k_1$ и $k_2$, где $k_1k_2 \ne 1$, является гомотетией с коэффициентом $k_1k_2$, причем ее центр лежит на прямой, соединяющей центры этих гомотетий

Подборка задач

  1. Докажите, что при гомотетии окружность переходит в окружность.
  2. Две окружности касаются в точке $K$. Прямая, проходящая через точку $K$, пересекает эти окружности в точках $A$ и $B$. Докажите, что касательные к окружностям, проведенные через точки $A$ и $B$, параллельны.
  3. Две окружности касаются в точке $K$. Через точку $K$ проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках $A$ и $B$, вторую -- в точках $C$ и $D$. Докажите, что $AB\|CD$.
  4. Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.
  5. Четырехугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что их точки пересечения медиан образуют параллелограмм.
  6. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$, а ее диагонали -- в точке $L$. Докажите, что точки $K$, $L$, $M$ и $N$, где $M$ и $N$ -- середины оснований $BC$ и $AD$, лежат на одной прямой.
  7. В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны. Докажите, что трапеция равнобокая.
  8. Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все его стороны отодвинуть на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному. Докажите, что этот многоугольник описанный.
  9. Пусть $R$ и $r$ -- радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что $R \geqslant 2r$, причем равенство достигается лишь для правильного треугольника.
  10. Докажите, что любой выпуклый многоугольник $F$ содержит два многоугольника $F_1$ и $F_2$, подобных $F$ с коэффициентом $1/2$, не имеющих общих внутренних точек. Покажите, что для невыпуклых многоугольников этот факт может быть неверен.
  11. Дан треугольник $ABC$. Построены четыре окружности равного радиуса $x$ так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите $x$, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны $r$ и $R$ соответственно.
  12. В каждый угол треугольника $ABC$ вписана окружность, касающаяся описанной окружности. Пусть $A_1$, $B_1$ и $C_1$ -- точки касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.
  13. Даны угол $ABC$ и точка $M$ внутри его. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку $M$.
  14. Впишите в треугольник две равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и другой окружности.