YT Digit - шаблон joomla Книги
logo2

Теория чисел

Теория и подборка олимпиадных задач по теории чисел.

Полезные материалы

Записи онлайн-занятий

Записаться на курс

Записаться на курс

Записаться на курс

Записаться на курс

Записаться на курс

Записаться на курс

Записаться на курс

Записаться на курс

Подборка задач

  1. Существуют ли такие двузначные числа $\overline{ab}$ и $\overline{cd}$, что $\overline{ab} \cdot \overline{cd} = \overline{abcd}$. (Региональный этап, 1994-1995, 8 класс, №1) 
  2. Натуральное число $n$ является произведением двух различных простых чисел, а сумма всех его делителей, считая 1, но не считая $n$, равна 1000. Найдите все такие $n$. (Региональный этап, 1993-1994, 9 класс, №1) 
  3. Даны натуральные числа M и N, большие десяти, состоящие из одинакового количества цифр и такие, что M = 3N. Чтобы получить число M, надо в числе N к одной из цифр прибавить 2, а к каждой из остальных цифр прибавить по нечётной цифре. Какой цифрой могло оканчиваться число N? (Н. Агаханов, Региональный этап, 2012-2013, 9 и 10 классы, №1) 
  4. Числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел в первой группе делится на произведение чисел во второй. Какое наименьшее значение может быть у частного от деления первого произведения на второе? (А. Голованов, Окружной этап, 2002-2003, 8 класс, №1)
  5. Ученик за одну неделю получил 17 оценок (каждая из них – 2, 3, 4 или 5). Среднее арифметическое этих 17 оценок – целое число. Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз. (Н. Агаханов, И. Богданов, Региональный этап, 2013-2014, 10 класс, №1)
  6. Рассматривается постедовательность натуральных чисел 2, 6, 30, ..., в которой $k$-й член есть произведение первых $k$ простых чисел. Извество, что разность некоторых двух чисел этой последовательности равна 30000. Найдите эти числа. (Региональный этап, 1993-1994, 10 класс, №1)
  7. Три натуральных числа таковы, что последняя цифра суммы любых двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих трёх чисел записали на доске, а затем всё, кроме трёх последних цифр этого произведения, стёрли. Какие три цифры могли остаться на доске? (Н. Агаханов, Региональный этап, 2012-2013, 11 класс, №1)
  8. Найдите все такие числа $a$, что для любого натурального $n$ число $an(n + 2)(n + 4)$ будет целым. (О. Подлипский, Региональный этап, 2010-2011, 9 класс, №5)
  9. Найдите все такие числа $a$, что для любого натурального $n$ число $an(n + 2)(n + 3)(n + 4)$ будет целым. (О. Подлипский, Региональный этап, 2010-2011, 10 и 11 классы, №5)
  10. Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр – простое число. Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел? (О. Подлипский, Региональный этап, 2014-2015, 9 класс, №2)
  11. На доске написано число 1. Если на доске написано число $а$, его можно заменить любым числом вида $a + d$, где $d$ взаимно просто с $а$ и $10 \leqslant d \leqslant 20$. Можно ли через несколько таких операций получить на доске число 18! ? (И. Рубанов, Региональный этап, 2010-2011, 8 класс, №6)
  12. Докажите, что уравнение $x^3 + y^3 = 4 (x^2y + xy^2 + 1)$ не имеет решений в целых числах. (А. Калинин, Окружной этап, 1992-1993, 9 класс, №5)
  13. Дано натуральное число $n>1$. Для каждого делителя $d$ числа $n + 1$, Петя разделил число $n$ на $d$ с остатком и записал на доску неполное частное, а в тетрадь -- остаток. Докажите, что наборы чисел на доске и в тетради совпадают. (С. Берлов, Окружной этап, 2007-2008, 9 класс, №5)
  14. Можно ли расставить по кругу 1995 различных натуральных чисел так, чтобы для любых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом? (А. Шаповалов, Окружной этап, 1994-1995. 9 класс, №2)
  15. Числа от 1 до 37 записали в стороку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число. Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором -- 1? (А. Шаповалов, Окружной этап, 1996-1997, 8 класс, №6)
  16. Найдите все простые числа $p$ и $q$ такие, что $p+q = (p - q)^3$. (Р. Женодаров, Окружной этап, 2000-2001, 11 класс, №1)
  17. При каких натуральных $n$ найдутся такие целые $a$, $b$, $c$, что их сумма равна нулю, а число $a^n + b^n + c^n$ -- простое? (В. Сендеров, Окружной этап, 2006-2007, 11 класс, №5)
  18. Натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что $\mbox{НОК}(m,n) + \mbox{НОД}(m,n) = m + n$. Докажите, что одно из чисел $m$ или $n$ делится на другое. (С. Токарев, Окружной этап, 1994-1995, 10 класс, №2)
  19. Назовём натуральное число хорошим, если среди его делителей есть ровно два простых числа. Могут ли 18 подряд идущих натуральных чисел быть хорошими? (О. Подлипский, Финал, 2012-2013, 10 класс, №1)
  20. Целые числа $x$, $y$ и $z$ таковы, что $(x-y)(y-z)(z-x) = x+y+z$. Докажите, что число $x+y+z$ делитя на 27. (Н. Агаханов, Финал, 1992-1993, 9 класс, №5)
  21. Учитель записал Пете в тетрадь четыре различных натуральных числа. Для каждой пары этих чисел Петя нашёл их наибольший общий делитель. У него получились шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и $N$, где $N > 5$. Какое наименьшее значение может иметь число $N$? (О. Дмитриев, Региональный этап, 2013-2014, 9 класс, №3)
  22. Найдите все такие тройки простых чисел p, q, r, что четвёртая степень каждого из них, уменьшенная на 1, делится на произведение двух остальных. (В. Сендеров, Региональный этап, 2010-2011, 9 класс, №7)
  23. Найдите все такие пары простых чисел $p$ и $q$, что $p^3 - q^5 = (p + q)^2$. (С. Токарев, Окружной этап, 1996-1997, 8 класс, №7)
  24. Найдите наименьшее натуральное число, не представимое в виде $\dfrac{2^a - 2^b}{2^c - 2^d}$, где $a$, $b$, $c$, $d$ -- натуральные числа. (В. Сендеров, Финал, 2004-2005, 10 класс, №1) 
  25. Докажите, что для натуральных чисел $k$, $m$ и $n$ справедливо неравенство $$\mbox{НОК}(k,m) \cdot \mbox{НОК}(m,n) \cdot\mbox{НОК}(n,k) \geqslant (\mbox{НОК}(k,m,n))^2.$$ (А. Голованов, Финал, 1993-1994, 10 класс, №5)
  26. Даны такие натуральные числа $a$ и $b$, что число $\dfrac{a+1}{b} + \dfrac{b+1}{a}$ является целым. Докажите, что наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ не превосходит числа $\sqrt{a+b}$. (Финал, 1993-1994, 11 класс, №1)
  27. Для каких натуральных чисел $n$ числа 1, 2, 3, ..., $4n$ можно разбить на $n$ групп по четыре числа так, чтобы в каждой группе одно из чисел равнялось среднему арифметическому трех остальных? (Региональный этап, 1993-1994, 11 класс, №7) 
  28. Пусть $a$, $b$ и $c$ -- попарно взаимно простые натуральные числа. Найдите все возможные значения $\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$, если известно, что это число целое. (Д. Храмцов, Окружной этап, 1995-1996, 9 класс, №3)
  29. Леша поставил в клетки таблицы $22\times 22$ натуральные числа от 1 до $22^2$. Врено ли, что Олег может выбрать такие две клетки, соседние по стороне или вершине, что сумма чисел, стоящих в этих клетках, делится на 4? (О. Подлипски, Финал, 2004-2005, 9 класс, №2)
  30. Даны натуральные числа a и b, причём $a < 1000$. Докажите, что если $a^{21}$ делится на $b^{10}$, то $a^2$ делится на $b$. (П. Кожевников, Региональный этап, 2009-2010, 8 класс, №4)
  31. Найдите все четверки попарно различных простых чисел $p$, $q$, $r$ и $s$ таких, что их сумма -- простое число, а числа $p^2 + rs$ и $p^2 + qr$ -- квадраты натуральных чисел. (Р. Женодаров, Окружной этап, 1993-1994, 9 класс, №7)
  32. На доске записано натуральное число. Его последняя цифра запоминается, затем стирается и множенная на 5 прибавляется к тому числу, которое осталось на доске после стирания. Первоначально было записано число $7^{1998}$. Может ли после применения нескольких таких операций получиться число $1998^7$? (Л. Емельянов, Окружной этап, 1997-1998, 11 класс, №6)
  33. Найдите все простые числа, которые являются одновременно суммой двух простых чисел и разностью двух простых чисел. (С. Кожухов, Окружной этап, 1993-1994, 10 класс, №7)
  34. Сумма кубов трех последовательных чисел оказалась кубом натурального числа. Докажите, что среднее из этих чисел делится на 4. (В. Сендеров, Финал, 2005-2006, 10 класс, №2)
  35. Существует ли такая бесконечная последовательность натуральных чисел, что для любого натурального $k$ сумма любых $k$ идущих подряд членов этой последовательности делится на $k + 1$? (Финал, 2014-2015, 10 класс, №6)