YT Digit - шаблон joomla Книги
logo2

Инвариант

Теория и подборка задач про инвариант.

Полезные материалы

Подборка задач

  1. На доске написаны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается к любым двум из них одновременно добавлять по единице. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными?
  2. 100 фишек выставлены в ряд. Разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну. Можно ли с помощью таких операций переставить все фишки в обратном порядке?
  3. Вера, Надя и Люба решали задачи. Чтобы дело шло быстрее, они купили конфет и условились, что за каждую решенную задачу девочка, решившая ее первой, получает четыре конфеты, решившая второй -- две, а решившая последней -- одну. Девочки говорят, что каждая из них решила все задачи и получила 20 конфет, причем одновременных решений не было. Может ли такое быть?
  4. В алфавите языка племени АББА всего две буквы: А и Б, причем этот язык обладает такими свойствами: если из слова выкинуть стоящие рядом буквы БА, то смысл слова не изменится. Точно так же смысл слова не изменится при добавлении в любое место слова буквосочетания АБ или ААББ. Можно ли утверждать, что слова АББ и БАА имеют одинаковый смысл?
  5. На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 2017. Разрешается стереть любые два числа и написать вместо них разность этих чисел. Можно ли добиться того, чтобы все числа на доске были нулями?
  6. На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 19, 20. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$ и вместо них написать число $a + b - 1$. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?
  7. На шести елках сидят шесть чижей, на каждой елке – по чижу. Елки растут в ряд с интервалами в 10 метров. Если какой-то чиж перелетает с одной елки на другую, то какой-то другой чиж обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении. Могут ли все чижи собраться на одной елке? А если чижей и елок – семь?
  8. Круг разделен на 6 секторов, в каждом из которых стоит фишка. Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ними сектора. Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?
  9. Хулиган Вася порвал стенгазету, причем каждый кусок он разрывал либо на 4, либо на 10 частей. Могло ли в конце получиться 2006 кусков?}
  10. На доске написано число 12. В течение каждой минуты число либо умножают, либо делят на 2 или на 3, и результат записывают на доску вместо исходного числа. Докажите, что число, которое будет написано на доске ровно через час, не может быть равно 54.
  11. Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали. Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна черная клетка?
  12. В таблице $3 \times 3$ одна из угловых клеток закрашена черным цветом, все остальные -- белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.
  13. На доске написано число $8^{2017}$. У него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число?
  14. На прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу). Докажите, что через 2017 секунд они не могут вернуться в исходное положение.
  15. У племени семпоальтеков было 24 слитка золота, 26 редких жемчужин и 25 стеклянных бус. У Кортеса они могут обменять слиток золота и жемчужину на одни бусы, у Монтесумы -- один слиток и одни бусы на одну жемчужину, а у тотонаков -- одну жемчужину и одни бусы на один золотой слиток. После долгих обменов у семпоальтеков осталось только одна вещь. Какая это могла быть вещь?
  16. На доске написаны два числа. Каждый день Боря стирает с доски оба числа и пишет вместо них их среднее арифметическое и среднее гармоническое. Утром первого дня на доске были написаны числа 1 и 2. Найдите произведение чисел, записанных на доске вечером 2017-го дня. (Средним арифметическим двух чисел $a$ и $b$ называется число $\dfrac{(a+b)}{2}$, а средним гармоническим -- число $\dfrac{2}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}$).
  17. На доске выписаны числа 1, 2, …, 20. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$ и заменить их на число $ab + a + b$. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?
  18. В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа  $+ 1$ и  $-1$ так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят  $+1$. Разрешается изменять знак в любых $k$ подряд идущих вершинах. При каких $k$ можно такими операциями добиться того, чтобы единственное число $-1$ сдвинулось в соседнюю с исходной вершину?
  19. На острове Серобуромалин живет 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона разного цвета, они одновременно перекрашиваются в третий цвет. Может ли через некоторое время оказаться, что все хамелеоны имеют один цвет?
  20. На доске написаны многочлены $P(x) = x^2 + 2$ и $Q(x) = x + 1$. Разрешается записать на доску сумму, разность или произведение любых двух из уже выписанных на доску многочленов. Может ли на доске появиться многочлен $R(x) = x^3 + 2$?