Олимпиада Фоксфорда. Математика. I сезон. 11 класс

Условия, ответы и решения I сезона олимпиады Фоксфорда по математике для 11 класса. Олимпиада проходила в сентябре 2015 года.

Степень числа. Если положительное число $a$ возвести в шестую степень, то оно увеличится вдвое. Во сколько раз увеличится число $a$, если его возвести в шестнадцатую степень?

Ответ
8

Решение
Честные чиновники. Среди ста чиновников Министерства важных дел некоторой Страны есть как честные чиновники, так и жулики. Известно, что из любых двадцати чиновников этого Министерства по крайней мере один чиновник является жуликом. Какое наименьшее число жуликов может быть в таком Министерстве?

Ответ
81

Решение
Поле одуванчиков. На поле росло 300 одуванчиков. После того как 20 белых облетели, а 25 желтых побелели, желтых одуванчиков стало втрое больше, чем белых. Сколько белых одуванчиков росло на поле вначале?

Ответ
51

Решение
Ценный груз. На Аэродром должен был прилететь самолет с ценным грузом. Для транспортировки его из Города на Аэродром была отправлена машина. Самолет приземлился раньше установленного срока, и привезенный груз был отправлен в Город на машине спецслужб. Через 20 минут езды машина спецслужб встретила на дороге машину из Города, которая приняла груз и, не задерживаясь, повернула обратно. В Город она прибыла на 40 минут раньше, чем было запланировано. На сколько минут раньше установленного срока приземлился самолет?

Ответ
51

Решение
Велотрек. Из двух диаметрально противоположных точек кругового велотрека одновременно стартуют два велосипедиста. Они едут в одном направлении с постоянными скоростями. Время от времени первый велосипедист обгоняет второго. Шестой обгон произошел через 44 минут после начала движения. Через сколько минут после этого случится следующий обгон?

Ответ
8

Решение
Квадрат и куб. Чему равно наименьшее натуральное число $N$, обладающих следующим свойством: $13N$ является квадратом некоторого натурального числа, а $6N$ -- кубом?

Ответ
79092

Решение
Нечетные. На доске написано 400 различных целых чисел. Количество нечетных попарных сумм равно количеству нечетных попарных произведений. Какое наибольшее количество нечетных чисел может быть на доске?

Ответ
267

Решение
Три касательные. Прямые $PA$ и $PB$ касаются окружности с центром $O$ ($A$ и $B$ -- точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки $PA$ и $PB$ в точках $M$ и $K$. Найдите наименьшее значение периметра треугольника $MPK$, если $PO=5$, $\angle APB=120^{\circ}$.

Ответ
5

Решение
Пробежка. Дима, Вова и Боря решили посоревноваться в беге на стадионе. Они стартовали одновременно. Дима каждый круг пробегал на 12 секунд быстрее Вовы, а Вова — на 18 секунд быстрее Бори. Когда Дима закончил дистанцию, Вове осталось пробежать ровно два круга, а Боре — ровно четыре круга. Сколько кругов составляла дистанция? (Предполагается, что ребята бегут с постоянными скоростями.)

Ответ
12

Решение
Две биссектрисы. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов $C$ треугольника $ABC$ пересекают прямую $AB$ в точках $L$ и $M$ соответственно. Известно, что $CL=CM$. Найдите наибольшее значение $AC^2+BC^2$, если радиус описанной окружности треугольника $ABC$ равен 5.

Ответ
100

Решение
Параллелограмм. Дан параллелограмм $MKPL$. Известно, что $\cos \angle MKL = \sin \angle KPM = 0,4$, и угол $KPM$ острый. Какую наименьшую длину может иметь сторона $MK$, если $KL=70$?

Ответ
16

Решение
Наибольшая длина. Дан треугольник $ABC$. Пусть $M$ -- середина $BC$. На стороне $AB$ выбрана некоторая точка $N$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $X$. Известно, что $AN=NX=7$ и $BN=5$. Какая наибольшая длина может быть у отрезка $CN$?

Ответ
19

Решение
Серединные перпендикуляры. Серединные перпендикуляры, проведенные к биссектрисам $AA_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$, пересекаются на стороне $AC$. Найдите $AB$, если $AC=35$, $BC=49$.

Ответ
25

Решение
Наименьшее произведение. Найдите наименьшее возможное значение произведения $xy$, если действительные числа $x$, $y$ и $z$ таковы, что $x^2+y^2+z^2=400$ и $xz+xy+yz=300$.

Ответ
50

Решение
Чевианы. В треугольнике $ABC$ на сторонах $BC$, $AC$, $AB$ взяты точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ так, что отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке. Точки $A_2$, $B_2$ и $C_2$ симметричны точкам $A$, $B$ и $C$ относительно точек $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Найдите наибольшее значение площади треугольника $A_2B_2C_2$, если $S(ABC)=50$, а $S(A_1B_1C_1)=12$.

Ответ
198

Решение
Сумма синусов. Для каждого натурального $n$ определим число $$a_n=\sin1+\sin2+\ldots+\sin n.$$ Сколько отрицательных элементов среди первых 192 членов этой последовательности?

Ответ
30

Решение
Треугольники в круге. На окружности отмечено 111 точек. Какое наибольшее число треугольников с вершинами в этих точках можно нарисовать так, чтобы каждые два треугольника имели ровно одну общую вершину?

Ответ
55

Решение
Ладьи на доске. На доске $10 \times 10$ стоит 18 ладей так, что каждая ладья бьет ровно одну ладью по горизонтали и ровно одну по вертикали. Два расположения ладей называют идентичными, если, меняя любое число раз вертикали между собой и горизонтали между собой, можно из одного расположения получить другое. Сколько существует попарно неидентичных расположений ладей?

Ответ
8

Решение
Центроид и ортоцентр. В треугольнике $ABC$ $AB=17$, $BC=10$, $\angle B = 120^{\circ}$. Найдите расстояние от точки пересечения медиан до точки пересечения высот этого треугольника.

Ответ
18

Решение
Триангуляция. Стороны треугольника разбиты на 100 равных частей каждая, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разрезают треугольник на 10000 маленьких треугольничков. Среди вершин полученных треугольничков отмечают $N$ точек так, чтобы ни для каких двух отмеченных точек отрезок, соединяющий их, не был параллелен ни одной из сторон исходного треугольника. Каково наибольшее возможное значение $N$?

Ответ
67

Решение