YT Digit - шаблон joomla Книги
logo2

ЕГЭ. Задача 13. Тригонометрические (и не только) уравнения

Подготовка к единому государственному экзамену по математике. Полезные материалы по тригонометрии, большие теоретические видеолекции, видеоразборы задач и подборка заданий прошлых лет.

trigonПолезные материалы

Записи онлайн-занятий

Тригонометрические формулы

Тригонометрические уравнения

  1. Необходимая теория для решения задач.
  2. а) Решите уравнение $7\cos^2 x - \cos x - 8 = 0$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -\dfrac{3\pi}{2} \right]$.
  3. а) Решите уравнение $\dfrac{6}{\cos^2 x} - \dfrac{7}{\cos x} + 1 = 0$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -3\pi; -\pi \right]$.
  4. Решите уравнение $\sin\sqrt{16 - x^2} = \dfrac12$.
  5. а) Решите уравнение $2\cos 2x - 12\cos x + 7 = 0$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]$.
  6. а) Решите уравнение $\dfrac{5}{\mathrm{tg}^2 x} - \dfrac{19}{\sin x} + 17 = 0$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$.
  7. Решите уравнение $\dfrac{2\cos^3 x + 3 \cos^2 x + \cos x}{\sqrt{\mathrm{ctg}x}} = 0$.
  8. Решите уравнение $\dfrac{\mathrm{tg}^3x - \mathrm{tg}x}{\sqrt{-\sin x}} = 0$.
  9. а) Решите уравнение $\cos 2x = 1 - \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac{5\pi}{2}; -\pi \right)$.
  10. а) Решите уравнение $\cos 2x = \sin\left(\dfrac{3\pi}{2} - x\right)$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ \dfrac{3\pi}{2}; \dfrac{5\pi}{2} \right]$.
  11. а) Решите уравнение $2\sin^2\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) = \sqrt3\cos x$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$.

Видеоразборы задач

а) Решите уравнение $\cos^2 (\pi - x) - \sin \left( x - \dfrac{3\pi}{2} \right) = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi \right]$.

 

а) Решите уравнение $8^x - 9 \cdot 2^{x + 1} + 2^{5 - x} = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\log_5 2; \log_5 20 \right]$.

 

а) Решите уравнение $8 \sin^2 x + 2\sqrt{3} \cos \left( \dfrac{3\pi}{2} - x\right) = 9$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[- \dfrac{5\pi}{2}; -\pi \right]$.

 

а) Решите уравнение $2\log_3^2 (2 \cos x) - 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2} \right]$.

а) Решите уравнение $\left( \dfrac{1}{49} \right)^{\sin x} = 7^{2 \sin 2x}$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\dfrac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$.

 

а) Решите уравнение $\sin x + \left(\cos \dfrac{x}{2} - \sin \dfrac{x}{2}\right)\left(\cos \dfrac{x}{2} + \sin \dfrac{x}{2}\right) = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]$.

 

а) Решите уравнение $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]$.

Подборка заданий прошлых лет

  1. а) Решите уравнение $\cos 2x = 1 - \cos \left( \dfrac{\pi}{2} - x\right)$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие полуинтервалу $\left[ - \dfrac{5\pi}{2}; \ -\pi\right)$. (Демоверсия ЕГЭ-2018)
  2. а) Решите уравнение $2x \cos x - 8\cos x + x - 4 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{\pi}{2};\ \pi \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
  3. а) Решите уравнение $\log_3 (x^2 - 2x) = 1$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \log_2 0{,}2;\ \log_2 5 \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
  4. а) Решите уравнение $\log_3 (x^2 - 24x) = 4$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \log_2 0{,}1;\ 12\sqrt{5} \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
  5. а) Решите уравнение $0{,}4^{\sin x} + 2{,}5^{\sin x} = 2$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна)
  6. а) Решите уравнение $\log_8 \left(7\sqrt{3} \sin x - \cos 2x - 10\right) = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна)
  7. а) Решите уравнение $\log_4 \left(2^{2x} - \sqrt{3} \cos x - 6\sin^2 x\right) = x$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна)
  8. а) Решите уравнение $2\log_2^2 \left(\sin x\right) - 5 \log_2 \left(\sin x\right) - 3 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ - 3\pi;\ - \dfrac{3\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна)
  9. а) Решите уравнение $81^{\cos x} - 12\cdot 9^{\cos x} + 27 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ - 4\pi;\ - \dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна)
  10. а) Решите уравнение $8^x - 9 \cdot 2^{x + 1} + 2^{5 - x} = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \log_5 2;\ \log_5 20 \right]$. (ЕГЭ-2017, досрочная волна)
  11. а) Решите уравнение $2\log^2_9 x - 3 \log_9 x + 1 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \sqrt{10};\ \sqrt{99} \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна, резервный день)
  12. а) Решите уравнение $6\log^2_8 x - 5 \log_8 x + 1 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2;\ 2{,}5 \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна, резервный день)
  13. а) Решите уравнение $\sin 2x = 2\sin x + \sin \left( x + \dfrac{3\pi}{2} \right) + 1$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна, резервный день)
  14. а) Решите уравнение $2\cos^2 x + 1 = 2\sqrt{2} \cos \left( \dfrac{3\pi}{2} - x \right)$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна)
  15. а) Решите уравнение $2\log^2_2 (2\cos x) - 9 \log_2 (2\cos x) + 4 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна)
  16. а) Решите уравнение $8^x - 7 \cdot 4^x - 2^{x + 4} + 112 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \log_2 5;\ \log_2 11 \right]$. (ЕГЭ-2016, досрочная волна)
  17. а) Решите уравнение $\cos 2x + \cos^2 \left( \dfrac{3\pi}{2} - x \right) = 0,25$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2016, досрочная волна)
  18. а) Решите уравнение $\dfrac{13\sin^2 x - 5\sin x}{13\cos x + 12} = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi;\ -\dfrac{3\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2016, досрочная волна)
  19. а) Решите уравнение $\dfrac{\sin2x}{\sin\left( \dfrac{7\pi}{2} - x \right)} = \sqrt{2}$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2015, основная волна)
  20. а) Решите уравнение $4 \sin^2 x = \mathrm{tg} x$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ - \pi;\ 0\right]$. (ЕГЭ-2015, основная волна)
  21. а) Решите уравнение $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi;\ \dfrac{5\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2015, основная волна)
  22. а) Решите уравнение $\cos 2x - 5\sqrt{2}\cos x - 5 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi;\ -\dfrac{3\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2015, основная волна)
  23. а) Решите уравнение $\sin 2x + \sqrt{2} \sin x = 2\cos x + \sqrt{2}$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi;\ \dfrac{5\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2015, досрочная волна)
  24. а) Решите уравнение $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2015, досрочная волна)
  25. а) Решите уравнение $\mathrm{tg}^2 x + (1 + \sqrt{3}) \mathrm{tg} x + \sqrt{3} = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{5\pi}{2}; \ 4\pi\right]$. (ЕГЭ-2014, основная волна)
  26. а) Решите уравнение $2\sqrt{3} \cos^2\left( \dfrac{3\pi}{2} + x\right) - \sin 2x = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2}; \ 3\pi\right]$. (ЕГЭ-2014, основная волна)
  27. а) Решите уравнение $\cos 2x + \sqrt{2} \sin\left( \dfrac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi; \ -\dfrac{3\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2014, основная волна)
  28. а) Решите уравнение $-\sqrt{2} \sin\left( -\dfrac{5\pi}{2} + x\right) \cdot \sin x = \cos x$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{9\pi}{2}; \ 6\pi\right]$. (ЕГЭ-2014, досрочная волна)
  29. а) Решите уравнение $\sin 2x = \sin\left( \dfrac{\pi}{2} + x\right)$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; \ -\dfrac{5\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2013, основная волна)
  30. а) Решите уравнение $6 \sin^2 x + 5\sin\left( \dfrac{\pi}{2} - x\right) - 2 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -5\pi; \ - \dfrac{7\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2012, вторая волна)