ЕГЭ-2018. Основная волна. 01.06.2018 #02

Подробный разбор одного реального варианта ЕГЭ-2018.

13. а) Решите уравнение $\cos^2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]$.

14. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все ребра равны 6.
а) Докажите, что угол между прямыми $AC$ и $BC_1$ равен $60^{\circ}$.
б) Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $BC_1$.

15.Решите неравенство $$ 2\log_2 (1 - 2x) - \log_2 \left( \dfrac{1}{x} - 2 \right) \leqslant \log_2 ( 4x^2 + 6x - 1).$$

16. В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ углы $ABD$ и $ACD$ прямые.
а) Докажите, что $AB = CD$.
б) Найдите $AD$, если $AB = 2$, $BC = 7$.

17. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы:
-- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
-- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
-- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
-- 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
-- к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

18. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{x + 2a - 1} + \sqrt{x - a} = 1$$ имеет хотя бы один корень.

19. а) Представьте число $\dfrac{33}{100}$ в виде суммы нескольких дробей, все числители которых равны единице, а знаменатели -- попарно различные натуральные числа.
б) Представьте число $\dfrac{15}{91}$ в виде суммы нескольких дробей, все числители которых равны единице, а знаменатели -- попарно различные натуральные числа.
в) Найдите все возможные пары натуральных чисел $m$ и $n$, для которых $m \leqslant n$ и $\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{14}$.