ЕГЭ-2018. Основная волна. 01.06.2018 #01
13. а) Решите уравнение: $$\sin x + 2\sin \left(2x + \dfrac{\pi}{6} \right) = \sqrt3 \sin2x + 1.$$
б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$.
14. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причем $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите угол между прямыми $BB_1$ и $AC_1$, если $AB = 6$, $BB_1 = 15$, $B_1C_1 = 8$.
15. Решите неравенство $$\log_7 (2x^2 + 12) - \log_7 (x^2 - x + 12) \geqslant \log_7 \left( 2 - \dfrac{1}{x}\right).$$
16. Окружность с центром $O_1$ касается оснований $BC$ и $AD$ и боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Окружность с центром $O_2$ касается сторон $BC$, $CD$ и $AD$. Известно, что $AB = 10$, $BC = 9$, $CD = 30$, $AD = 39$.
а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям трапеции $ABCD$.
б) Найдите длину отрезка $O_1O_2$.
17. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?
18. Найти все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$$\begin{cases} x^2 + y^2 - 4(a + 1)x - 2ay + 5a^2 +8a + 3 = 0, \\ y^2 = x^2 \end{cases}$$имеет ровно четыре различных решения.
19. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе № 1 вырасти в два раза?
б) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе № 2 равняться 1?
в) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.
