ЕГЭ-2019. Досрочная волна. Резервный день. 10.04.2019
Разбор реального варианта ЕГЭ (резерв досрока) по профильной математике 2019 года, который прошел 10 апреля.
13. а) Решите уравнение $\log_7 (x + 2) = \log_{49} x^4$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log_6\dfrac{1}{7}; \log_6 35\right]$.
14. В прямом круговом конусе с вершиной $S$ и центром основания $O$ радиус основания равен 13, а высота равна $3\sqrt{41}$. Точки $A$ и $B$ -- концы образующих, $M$ -- середина $SA$, $N$ -- точка в плоскости основания такая, что прямая $MN$ параллельна прямой $SB$.
а) Докажите что угол $ANO$ -- прямой.
б) Найдите угол между $MB$ и плоскостью основания, если дополнительно известно что $AB = 10$.
15. Решите неравенство $\dfrac{4^{x^2+x-4} - 0{,}5^{2x^2-2x-1}}{0{,}2 \cdot 5^x - 1} \leqslant 0$.
16. Две окружности касаются внешним образом в точке $K$. Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$, а второй — в точке $B$. Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$, прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C$.
а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.
б) Найдите площадь треугольника $AKB$, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
17. Строительство нового завода стоит 220 млн. рублей. Затраты на производство $x$ тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5x^2+x+7$ млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит $px-(0,5x^2+x+7)$. Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. В первый год, после запуска завода, продукцию планируют продавать за $p = 9$ тыс. рублей за единицу, а каждый следующий год цену будут повышать на 1 тыс. рублей за единицу. За сколько лет окупится строительство завода?
18. Найдите все значения $a$, при каждом из уравнение $\cos x + 2\sin x = a$ имеет ровно два корня на отрезке $\left[ -\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{3\pi}{4} \right]$.
19. Склад представляет собой прямоугольный параллелепипед, длины ребер которого равны целому числу метров, а контейнеры -- прямоугольные параллелепипеды размера $1 \times 1 \times 3$ метра. Контейнеры на складе можно класть только так, чтобы стенки контейнеров были параллельны стенам склада.
а) Может ли оказаться так, что полностью заполнить склад размером 120 кубометров нельзя?
б) Может ли оказаться так, что в склад объемом 100 кубометров не удастся поместить 33 контейнера?
в) Пусть объем склада равен 800 кубометров. Какое наибольшее количество процентов объёма такого склада удастся гарантировано заполнить контейнерами при любых параметрах склада?
