ЕГЭ. Задание 14. Стереометрия
Подготовка к профильному уровню единого государственного экзамена по математике. Полезные материалы по стереометрии, видеоразборы задач и подборка заданий прошлых лет.
Полезные материалы
Подборки видео и онлайн-курсы
- Все ролики с заданием 14
- Все ролики по стереометрии
- Мини-курс "Задачи по стереометрии на ЕГЭ по математике (задача №14)"
- Мини-курс "Векторный метод в пространстве"
Как решать стереометрию
Теорема о трёх перпендикулярах
Как найти объем. Принцип Кавальери
Видеоразборы задач
В треугольной пирамиде $SABC$ $SB=SC=AC=AB=\sqrt{17}$, $SA= BC = 2\sqrt5$.
а) Докажите, что прямые $BC$ и $SA$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $BC$ и $SA$.
В прямом круговом конусе с вершиной $S$ и центром основания $O$ радиус основания равен 13, а высота равна $3\sqrt{41}$. Точки $A$ и $B$ -- концы образующих, $M$ -- середина $SA$, $N$ -- точка в плоскости основания такая, что прямая $MN$ параллельна прямой $SB$.
а) Докажите что угол $ANO$ -- прямой.
б) Найдите угол между $MB$ и плоскостью основания, если дополнительно известно что $AB = 10$.
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны 2. Точка $M$ -- середина ребра $AA_1$.
а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_1C$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_1C$.
На окружности одного из оснований прямого кругового цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания -- точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ -- образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $C_1BA$ прямой.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$, если $AB=12$, $BB_1=4$ и $B_1C_1 = 3$.
Дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $AA_1$ отмечена точка $K$ так, что $AK : KA_1 = 1 : 2$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B$ и $K$ параллельно прямой $AC$. Эта плоскость пересекает ребро $DD_1$ в точке $M$.
а) Докажите, что $DM : MD_1 = 2 : 1$.
б) Найдите площадь сечения, если $AB = 4$, $AA_1 = 6$.
Длина диагонали куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 3. На луче $A_1C$ отмечена точка $P$ так, что $A_1P = 4$.
a) Докажите, что грань $PBDC_1$ -- правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка $AP$.
Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
a) Докажите, что грань $ABCD$ -- квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1 = 6$, $AB = 4$.
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB$ равна 6, а боковое ребро $AA_1$ равно 3. На ребре $AB$ отмечена точка $K$ так, что $AK = 1$. Точки $M$ и $L$ -- середины ребер $A_1C_1$ и $B_1C_1$ соответственно. Плоскость $\gamma$ параллельна прямой $AC$ и содержит точки $K$ и $L$.
а) Докажите, что прямая $BM$ перпендикулярна плоскости $\gamma$;
б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\gamma$.
Дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $AA_1$ отмечена точка $K$ так, что $AK : KA_1 = 1 : 2$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B$ и $K$ параллельно прямой $AC$. Эта плоскость пересекает ребро $DD_1$ в точке $M$.
а) Докажите, что $DM : MD_1 = 2 : 1$.
б) Найдите площадь сечения, если $AB = 4$, $AA_1 = 6$.
Подборка заданий прошлых лет
- В прямом круговом конусе с вершиной $S$ и центром основания $O$ радиус основания равен 13, а высота равна $3\sqrt{41}$. Точки $A$ и $B$ -- концы образующих, $M$ -- середина $SA$, $N$ -- точка в плоскости основания такая, что прямая $MN$ параллельна прямой $SB$.
а) Докажите что угол $ANO$ -- прямой.
б) Найдите угол между $MB$ и плоскостью основания, если дополнительно известно что $AB = 10$.
(ЕГЭ-2019, досрочная волна, резервный день) - В треугольной пирамиде $SABC$ $SB=SC=AC=AB=\sqrt{17}$, $SA= BC = 2\sqrt5$.
а) Докажите, что прямые $BC$ и $SA$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $BC$ и $SA$.
(ЕГЭ-2019, досрочная волна) - В треугольной пирамиде $SABC$ $SB=SC=\sqrt{17}$, $AB=AC=\sqrt{29}$, $SA= BC = 2\sqrt5$.
а) Докажите, что прямые $BC$ и $SA$ перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямой $SA$ и плоскостью $SBC$.
(ЕГЭ-2019, досрочная волна) - Дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $AA_1$ отмечена точка $K$ так, что $AK : KA_1 = 1 : 2$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B$ и $K$ параллельно прямой $AC$. Эта плоскость пересекает ребро $DD_1$ в точке $M$.
а) Докажите, что $DM : MD_1 = 2 : 1$.
б) Найдите площадь сечения, если $AB = 4$, $AA_1 = 6$.
(ЕГЭ-2018, досрочная волна) - В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны~2. Точка $M$ -- середина ребра $AA_1$.
а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_1C$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_1C$.
(ЕГЭ-2018, досрочная волна, резервный день) - На окружности одного из оснований прямого кругового цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания -- точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ -- образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $C_1BA$ прямой.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$, если $AB=12$, $BB_1=4$ и $B_1C_1 = 3$.
(ЕГЭ-2018, основная волна) - На окружности одного из оснований прямого кругового цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания -- точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ -- образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите угол между прямыми $BB_1$ и $AC_1$, если $AB = 6$, $BB_1 = 15$, $B_1C_1 = 8$.
(ЕГЭ-2018, основная волна) - На окружности одного из оснований прямого кругового цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания -- точка $C_1$, причём $CC_1$ -- образующая цилиндра, а $AC$ -- диаметр основания. Известно, что $\angle ACB = 30^{\circ}$, $AB = \sqrt2$, $CC_1 = 2$.
а) Докажите,что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $45^{\circ}$.
б) Найдите объём цилиндра.
(ЕГЭ-2018, основная волна) - В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все ребра равны 6.
а) Докажите, что угол между прямыми $AC$ и $BC_1$ равен $60^{\circ}$.
б) Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $BC_1$.
(ЕГЭ-2018, основная волна) - На ребре $AB$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $Q$, причём $AQ:OB=1:2$. Точка $P$ -- середина ребра $AS$.
а) Докажите, что плоскость $DPQ$ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения $DPQ$, если площадь сечения $DSB$ равна 6.
(ЕГЭ-2018, основная волна, резервный день) - В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $H$ -- центр грани $ABC$, а точка $M$ -- середина ребра $CD$.
а) Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми $DH$ и $BM$.
(ЕГЭ-2018, основная волна, резервный день) - Основанием прямой четырехугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$, $AB = AA_1$.
а) Докажите, что прямые $A_1C$ и $BD$ перпендикулярны.
б) Найдите объем призмы, если $A_1C = BD = 2$.
(ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день) - В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 5. На ребрах $SA$, $AB$, $BC$ взяты точки $P$, $Q$, $R$ соответственно так, что $PA = AQ = RC = 2$.
а) Докажите, что плоскость $PQR$ перпендикулярна ребру $SD$.
б) Найдите расстояние от вершины $D$ до плоскости $PQR$.
(ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день) - В треугольной пирамиде $PABC$ с основанием $ABC$ известно, что $AB = 17$, $PB = 10$, $\cos \angle PBA = \dfrac{32}{85}$. Основанием высоты этой пирамиды является точка $C$. Прямые $PA$ и $BC$ перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
б) Найдите объем пирамиды $PABC$.
(ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день) - Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 6. Точки $K$, $L$ и $M$ -- центры граней $ABCD$, $AA_1D_1D$ и $CC_1D_1D$ соответственно.
а) Докажите, что $B_1KLM$ -- правильная пирамида.
б) Найдите объём $B_1KLM$.
(ЕГЭ-2017, основная волна) - В треугольной пирамиде $SABC$ известны боковые рёбра: $SA = SB = 7$, $CS = 5$. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы $CM$ треугольника $ABC$. Эта высота равна 4.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.
б) Найдите объём пирамиды $SABC$.
(ЕГЭ-2017, основная волна) - Основанием прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Диагонали боковых граней $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ равны 15 и 9 соответственно, $AB = 13$.
а) Докажите, что треугольник $BA_1C_1$ прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды $AA_1C_1B$.
(ЕГЭ-2017, основная волна) - Основанием прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Прямые $CA_1$ и $AB_1$ перпендикулярны.
а) Докажите, что $AA_1 = AC$.
б) Найдите расстояние между прямыми $CA_1$ и $AB_1$, если $AC = 6$, $BC = 3$.
(ЕГЭ-2017, основная волна) - На ребрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM:MB = CN:NB = 1:3$. Точки $P$ и $Q$ -- середины сторон $DA$ и $DC$ соответственно.
а) Доказать, что $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
(ЕГЭ-2017, основная волна) - Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$ содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
а) Докажите, что грань $ABCD$ -- квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1 = 6$, $AB = 4$.
(ЕГЭ-2017, досрочная волна) - В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона $AB$ основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах $B_1C_1$ и $AB$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причём $PC_1 = 3$, а $AQ = 4$. Плоскость $A_1PQ$ пересекает ребро $BC$ в точке $M$.
а) Докажите, что точка $M$ является серединой ребра $BC$.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $A_1PQ$.
(ЕГЭ-2016, основная волна) - На рёбрах $DD_1$ и $BB_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 12 отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причём $DP = 10$, а $B_1Q = 4$. Плоскость $A_1PQ$ пересекает ребро $CC_1$ в точке $M$.
а) Докажите, что точка $M$ является серединой ребра $CC_1$.
б) Найдите расстояние от точки $C_1$ до плоскости $A_1PQ$.
(ЕГЭ-2016, основная волна) - В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона $AB$ основания равна $2\sqrt{3}$, а высота $SH$ пирамиды равна 3. Точки $M$ и $N$ -- середины рёбер $CD$ и $AB$, соответственно, а $NT$ -- высота пирамиды $NSCD$ с вершиной $N$ и основанием $SCD$.
а) Докажите, что точка $T$ является серединой $SM$.
б) Найдите расстояние между $NT$ и $SC$.
(ЕГЭ-2016, основная волна) - В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона $AB$ основания равна 6, а боковое ребро $AA_1$ равно $3\sqrt2$. На ребрах $BC$ и $C_1D_1$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно, причём $BK = 4$, $C_1L = 5$. Плоскость $\gamma$ параллельна прямой $BD$ и содержит точки $K$ и $L$.
а) Докажите, что прямая $AC_1$ перпендикулярна плоскости $\gamma$;
б) Найдите расстояние от точки $B_1$ до плоскости $\gamma$.
(ЕГЭ-2016, основная волна) - В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона $AB$ основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах $AB$, $CD$ и $AS$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, причём $AM = DN = 4$ и $AK = 3$.
а) Докажите, что плоскости $MNK$ и $SBC$ параллельны.
б) Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $SBC$.
(ЕГЭ-2016, основная волна) - В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны 8. На рёбрах $AA_1$ и $CC_1$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM = 3$, $CN = 1$.
а) Докажите, что плоскость $MNB_1$ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра $MNBB_1$.
(ЕГЭ-2016, досрочная волна) - В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона $AB$ основания равна 6, а боковое ребро $AA_1$ равно $3\sqrt2$. На ребрах $BC$ и $C_1D_1$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно, причём $BK = 4$, $C_1L = 5$. Плоскость $\gamma$ параллельна прямой $BD$ и содержит точки $K$ и $L$.
а) Докажите, что прямая $AC_1$ перпендикулярна плоскости $\gamma$;
б) Найдите расстояние от точки $B_1$ до плоскости $\gamma$.
(ЕГЭ-2016, основная волна) - В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона $AB$ основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах $AB$, $CD$ и $AS$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, причём $AM = DN = 4$ и $AK = 3$.
а) Докажите, что плоскости $MNK$ и $SBC$ параллельны.
б) Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $SBC$.
(ЕГЭ-2016, основная волна) - В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны 8. На рёбрах $AA_1$ и $CC_1$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM = 3$, $CN = 1$.
а) Докажите, что плоскость $MNB_1$ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра $MNBB_1$.
(ЕГЭ-2016, досрочная волна) - Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, все рёбра которой равны 6. Через точки $A$, $C_1$ и середину $T$ ребра $A_1B_1$ проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью $ABC$.
(ЕГЭ-2016, досрочная волна) - В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания $AB = 6$, а боковое ребро $AA_1 = 4\sqrt3$. На рёбрах $AB$, $A_1D_1$ и $C_1D_1$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, причём $AM = A_1N = C_1K = 1$.
а) Пусть $L$ -- точка пересечения плоскости $MNK$ с ребром $BC$. Докажите, что $MNKL$ -- квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MNK$.
(ЕГЭ-2016, досрочная волна) - В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна 24, а боковое ребро $SA$ равно 19. Точки $M$ и $N$ -- середины рёбер $SA$ и $SB$ соответственно. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $MN$ и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит медиану $CE$ основания в отношении $5 : 1$, считая от точки $C$.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды $SABC$ плоскостью $\alpha$.
(ЕГЭ-2015, основная волна) - В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все рёбра равны 4. На его ребре $BB_1$ отмечена точка $K$ так, что $KB = 3$. Через точки $K$ и $C_1$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $BD_1$.
а) Докажите, что $A_1P: PB_1 = 2:1$, где $P$ -- точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $A_1B_1$.
б) Найдите угол наклона плоскости $\alpha$ к плоскости грани $BB_1C_1C$.
(ЕГЭ-2015, досрочная волна)
