ЕГЭ-2017. Основная волна. 02.06.2017. #01

Условия и видеоразбор некоторого варианта части С (задания 13-19) основной волны ЕГЭ-2017 по математике (профильный уровень), который проходил 02.06.2017.

13. а) Решите уравнение $9 \cdot 81^{\cos x} - 28\cdot 9^{\cos x} + 3 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$.

14. На ребрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причем $AM : BM = CN : NB = 1 : 2$. Точки $P$ и $Q$ — середины сторон $DA$ и $DC$ соответственно.
а) Докажите, что $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в плоскости.
б) Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.

15. Решите неравенство $$\dfrac{\log_4(64x)}{\log_4 x - 3} + \dfrac{\log_4 x - 3}{\log_4(64x)} \geqslant \dfrac{\log_4 x^4 + 16}{\log_4^2 x - 9}.$$

16. Точка $E$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. На стороне $AB$ взяли точку $K$, так, что прямые $CK$ и $AE$ параллельны. Отрезки $CK$ и $BE$ пересекаются в точке $O$.
а) Докажите, что $CO = KO$.
б) Найти отношение оснований трапеции $BC$ и $AD$, если площадь треугольника $BCK$ составляет 0,09 площади трапеции $ABCD$.

17. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите $r$.

18. Найти все значения $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{2x-1} \ln(4x-a) = \sqrt{2x-1} \ln(5x+a)$$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;\, 1]$.

19. На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6.
б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?