ЕГЭ-2017. Досрочная волна. Резервный день. 14.04.2017

13. а) Решите уравнение $\cos^2(\pi - x) - \sin \left( x + \dfrac{3\pi}{2}\right) = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$.

14. Длина диагонали куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 3. На луче $A_1C$ отмечена точка $P$ так, что $A_1P = 4$.
a) Докажите, что грань $PBDC_1$ -- правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка $AP$.

15. Решите неравенство: $$(9^x - 2\cdot 3^x)^2 - 62 \cdot (9^x - 2\cdot 3^x) - 63 \geqslant 0.$$

16. Точка $M$ -- середина гипотенузы $AB$ треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет $BC$ в точке $N$.
а) Докажите, что $\angle CAN = \angle CMN$.
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $ANB$ и $CBM$, если $\mathrm{tg} \angle BAC = \dfrac43$.

17. В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на три года в размере $S$ млн. рублей, где $S$ -- целое число. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей

Месяц и год	Июль, 2017	Июль, 2018	Июль, 2019	Июль, 2020
Долг (в млн рублей)	$S$	$0,8S$	$0,4S$	0

Найдите наибольшее значение $S$, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн. рублей.

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств $$ \begin{cases} |x| + |a| \leqslant 4,\\ x^2 + 8x < 16a + 48 \end{cases} $$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $[-1;0]$.

19. На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в три раза.
а) Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 47?
б) Может ли на доске быть 10 чисел, сумма которых равна 94?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 8000?