ЕГЭ-2016. Основная волна. 06.06.2016
13. а) Решите уравнение $$2\log_3^2(2\cos x) - 5 \log_3(2\cos x) + 2 = 0.$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]$.
14. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB$ равна 6, а боковое ребро $AA_1$ равно 3. На ребре $AB$ отмечена точка $K$ так, что $AK = 1$. Точки $M$ и $L$ -- середины ребер $A_1C_1$ и $B_1C_1$ соответственно. Плоскость $\gamma$ параллельна прямой $AC$ и содержит точки $K$ и $L$.
а) Докажите, что прямая $BM$ перпендикулярна плоскости $\gamma$;
б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\gamma$.
15. Решите неравенство $$\frac{25^x - 5^{x+2} + 26}{5^x - 1} + \frac{25^x - 7\cdot5^x + 1}{5^x - 7} \leqslant 2\cdot5^x - 24.$$
16. В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны;
б) Найдите отношение $EH : AC$, если угол $ABC$ равен $30^{\circ}$.
17. 15-го января планируется взять кредит в банке на 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:
− 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
− со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
− 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн рублей) | 1 | 0,6 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0 |
Найдите наибольшее значение $r$, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,2 млн рублей.
18. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{x^4 - x^2 + a^2} = x^2 + x - a$$ имеет ровно три различных решения.
19. На доске написаны числа 2 и 3. За один ход из них можно получить числа $a + b$ и $2a - 1$ или числа $a + b$ и $2b - 1$ (например, из чисел 2 и 3 можно получить числа 5 и 3 или 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске окажется числом 19.
б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 200?
в) Сделали 1007 ходов, причем на доске никогда не было равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
