ЕГЭ-2016. Основная волна. 06.06.2016
13. а) Решите уравнение $8 \sin^2 x + 2\sqrt{3} \cos \left( \dfrac{3\pi}{2} - x \right) = 9$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{5\pi}{2}; -\pi\right]$.
14. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона $AB$ основания равна $2\sqrt3$, а высота $SH$ пирамиды равна 3. Точки $M$ и $N$ -- середины ребер $CD$ и $AB$, соответственно, а $NT$ -- высота пирамиды $NSCD$ с вершиной $N$ и основанием $SCD$.
а) Докажите, что точка $T$ является серединой $SM$.
б) Найдите расстояние между $NT$ и $SC$.
15. Решите неравенство $$2\log_{(x^2 - 8x + 17)^2} (3x^2 + 5) \leqslant \log_{x^2 - 8x + 17} (2x^2 + 7x + 5).$$
16. Квадрат $ABCD$ вписан в окружность. Хорда $CE$ пересекает его диагональ $BD$ в точке $K$.
а) Докажите, что $CK\cdot CE = AB \cdot CD$.
б) Найдите отношение $CK$ и $KE$, если $\angle ECD = 15^{\circ}$.
17. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере $S$ тыс рублей. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным $S$ тыс. рублей;
− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей;
− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
18. Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} x(x^2 + y^2 - y - 2) = |x| (y - 2),\\ y = x + a \end{cases} $$ имеет ровно три различных решения.
19. Последовательность $a_1, a_2, \ldots, a_n$ $(n \geqslant 3)$ состоит из натуральных чисел, причем каждый член последовательности больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов. а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50. б) Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа? в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при $n = 10$?
