ЕГЭ-2017. Досрочная волна. 31.03.2017

Посмотреть бесплатный онлайн-разбор варианта

13. а) Решите уравнение $8^x - 9 \cdot 2^{x + 1} + 2^{5 - x} = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_5 2; \log_5 {20}]$.

14. Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
a) Докажите, что грань $ABCD$ -- квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1 = 6$, $AB = 4$.

15. Решите неравенство: $$\log_2^2(25 - x^2) - 7\log_2(25 - x^2) + 12 \geqslant 0.$$

16. В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ -- середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ -- высота, $\angle BAC = 60^{\circ}$, $\angle BCA = 45^{\circ}$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC = 2 \sqrt3$.

17. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t = 1; 2; \ldots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в $(1 + r)$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств $$ \begin{cases} ax \geqslant 2,\\ \sqrt{x - 1} > a.\\ 3x \leqslant 2a + 11 \end{cases} $$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $[3;4]$.

19. На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?